《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 过点 $ P_0(x_0,y_0) $ 的直线在平面内有多少条？过点 $ P_0(x_0,y_0) $ 且斜率为 $ k $ 的直线有多少条？由此得到什么结论？

答案： 问题1.无数条和一条，结论是：平面内一个点和斜率确定一条直线。

问题2. 已知直线过 $ P_0(x_0,y_0) $ 且斜率为 $ k $，直线上任意一点 $ P(x,y) $ 和它们有怎样的关系？试建立它们的代数关系式.

答案：
问题2.如图所示，当P与$P_0$不重合时，由斜率公式$k = \frac{y - y_0}{x - x_0}$得$y - y_0 = k(x - x_0)$.当P与$P_0$重合，即$x = x_0$，$y = y_0$时，同样满足上式，这说明任意$P(x,y)$均满足：$y - y_0 = k(x - x_0)$.

1. 直线 $ l $ 的方程
一般地，如果一条直线 $ l $ 上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线 $ l $ 上，那么这个方程称为直线$l$的方程.

答案： 1.直线$l$的方程

2. 直线方程的点斜式

$y - y_0 = k(x - x_0)$

答案： 2.$y - y_0 = k(x - x_0)$

3. 特殊的直线方程
直线 $ l $ 经过点 $ P(x_0,y_0) $，
(1) 当直线 $ l $ 的斜率为 $ 0 $，即 $ k = 0 $ 时，直线 $ l $ 与 $ x $ 轴平行（或重合），直线方程为$y = y_0$，特别地，$ x $ 轴的方程是$y = 0$.
(2) 当直线 $ l $ 的斜率不存在，即直线 $ l $ 倾斜角为 $ \frac{\pi}{2} $ 时，直线 $ l $ 与 $ y $ 轴平行（或重合），直线方程为$x = x_0$，特别地，$ y $ 轴的方程是$x = 0$.

答案： 3.
(1)$y = y_0$ $y = 0$
(2)$x = x_0$ $x = 0$

典例1
（链教材 P10 例7）根据条件写出下列直线的方程，并画出直线：
(1) 经过点 $ A(-1,4) $，斜率 $ k = -3 $；
(2) 经过坐标原点，倾斜角为 $ \frac{\pi}{4} $；
(3) 经过点 $ B(3,-5) $，倾斜角为 $ \frac{\pi}{2} $；
(4) 经过点 $ C(2,8) $，$ D(-3,-2) $.

答案：
典例1 解：
(1)$y - 4 = -3[x - (-1)]$，即$y = -3x + 1$.如图①所示.
(2)因为$k = \tan\frac{\pi}{4} = 1$，所以$y - 0 = x - 0$，即$y = x$.如图②所示.
(3)因为倾斜角为$\frac{\pi}{2}$，所以直线的斜率$k$不存在，所以直线方程为$x = 3$.如图③所示.
(4)因为$k = \frac{8 - (-2)}{2 - (-3)} = 2$，所以$y - 8 = 2(x - 2)$，即$y = 2x + 4$.如图④所示.