《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练 1. 求下列两点间的距离：
(1) $ A(3,1),B(-2,5) $；
(2) $ A(3,0),B(-1,0) $；
(3) $ A(a,5),B(a,-2) $.

答案： 1.解：
(1)$|AB| = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{41}$．
(2)由于点A，B均在x轴上，所以$|AB| = | - 1 - 3| = 4$．
(3)由于直线$AB\bot x$轴，所以$|AB| = | - 2 - 5| = 7$．

典例 2
若点 $ M $ 到 $ x $ 轴和到点 $ N(-4,2) $ 的距离都等于 $ 10 $，则点 $ M $ 的坐标为$(2,10)$或$(-10,10)$.
听课笔记：
变式探究
(变条件)将本例中“点 $ M $ 到 $ x $ 轴”改为“点 $ M $ 到 $ y $ 轴”，其他条件不变，求点 $ M $ 的坐标.
解：由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为$\pm10$．设点M的坐标为$(\pm10,y_M)$，由两点间的距离公式得$|MN| = \sqrt{(10 + 4)^2 + (y_M - 2)^2} = 10$，或$|MN| = \sqrt{(-10 + 4)^2 + (y_M - 2)^2} = 10$，解得$y_M = -6$或$10$．所以点M的坐标为$(-10,-6)$或$(-10,10)$．

答案： 典例2
$(2,10)$或$(-10,10)$
变式探究
解：由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为$\pm10$．设点M的坐标为$(\pm10,y_M)$，由两点间的距离公式得$|MN| = \sqrt{(10 + 4)^2 + (y_M - 2)^2} = 10$，或$|MN| = \sqrt{(-10 + 4)^2 + (y_M - 2)^2} = 10$，解得$y_M = -6$或$10$．所以点M的坐标为$(-10,-6)$或$(-10,10)$．

对点练 2. 已知 $ A(a,3),B(3,3a + 3) $ 的距离为 $ 5 $，求 $ a $ 的值.

答案： 2.解：$|AB| = \sqrt{(a - 3)^2 + (3 - 3a - 3)^2} = \sqrt{(a - 3)^2 + (3a)^2} = 5$，
即$(a - 3)^2 + (3a)^2 = 25$，即$5a^2 - 3a - 8 = 0$，
解得$a = -1$，或$a = \frac{8}{5}$，因此$a$的值为$-1$或$\frac{8}{5}$．

典例 3
(一题多解)已知 $ \triangle ABC $ 三顶点坐标为 $ A(-3,1),B(3,-3),C(1,7) $，试判断 $ \triangle ABC $ 的形状.

答案： 解：法一：根据两点间的距离公式，得$|AB| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-3 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，$|AC| = \sqrt{(1 + 3)^2 + (7 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，又$|BC| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (7 + 3)^2} = 2\sqrt{26}$，
所以$|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$，且$|AB| = |AC|$，
所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形．
法二：因为$k_{AC} = \frac{7 - 1}{1 - (-3)} = \frac{3}{2}$，$k_{AB} = \frac{-3 - 1}{3 - (-3)} = -\frac{2}{3}$
则$k_{AC} · k_{AB} = -1$，所以$AC\bot AB$．
又$|AC| = \sqrt{(1 + 3)^2 + (7 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，
$|AB| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-3 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，
所以$|AC| = |AB|$．所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形．

对点练 3. 已知点 $ A(5,1) $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ B(x_1,y_1) $，关于原点的对称点为 $ C(x_2,y_2) $.
(1) 试判断 $ \triangle ABC $ 的形状；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 3.解：
(1)依题意得，点A$(5,1)$关于x轴的对称点为B$(5,-1)$，关于原点的对称点为C$(-5,-1)$，
根据两点间的距离公式，得$|AB| = \sqrt{(5 - 5)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{4}$，
$|BC| = \sqrt{(-5 - 5)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{100}$，
$|AC| = \sqrt{(-5 - 5)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{104}$，
所以$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$，所以$\triangle ABC$是直角三角形．
(2)$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|AB| · |BC| = \frac{1}{2} × 2 × 10 = 10$．