《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例1
(1)已知$\boldsymbol{a}=(2,-1,3)$，$\boldsymbol{b}=(-1,4,-2)$，$\boldsymbol{c}=(4,5,\lambda)$，若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$共面，则实数$\lambda$的值为（C）
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： C

(2)已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$均为单位向量，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle = 90^{\circ}$，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle = 60^{\circ}$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=$（C）
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$4$

答案： C

(3)(多选题)在《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫作堑堵，在如图所示的堑堵中，$\overrightarrow{B_{1}D}=2\overrightarrow{DC_{1}}$，则（BD）

A.$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影向量为$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$
D.$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{AC}$上的投影向量为$\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

答案： BD

(1)在四面体$OABC$中，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，$G$为$\triangle ABC$的重心，点$M$在线段$OC$上，且$OM = 2MC$，则$\overrightarrow{MG}=$（A）
A.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}-\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$
B.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$
C.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$
D.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$

答案： A

(2)在空间直角坐标系$O - xyz$中，若点$A(-1,3,1)$，$B(-1,3,4)$，$D(1,1,1)$，且$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则$|\overrightarrow{PD}|$的值为$2\sqrt{3}$。

答案： （此处应填数值答案对应选项，题目未给选项，按要求填数值相关结果形式，本题填数值答案）$2\sqrt{3}$（若以选择题形式，根据实际选项填对应字母）

(3)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）。数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。已知一个正八面体$ABCDEF$的棱长都是$2$（如图），$P$，$Q$分别为棱$AB$，$AD$的中点，则$\overrightarrow{CP}·\overrightarrow{FQ}=$1。

答案： 1

典例2
在四棱锥$P - ABCD$中，$AB\perp AD$，$CD\perp AD$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA = AD = CD = 2AB = 2$，$M$为$PC$的中点。
(1)求证：$BM//$平面$PAD$；
(2)平面$PAD$内是否存在一点$N$，使$MN\perp$平面$PBD$？若存在，确定$N$的位置；若不存在，说明理由。

答案：
(1)证明：以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0).
M为PC中点，故M(1,1,1).
向量$\overrightarrow{BM}=(0,1,1)$.
平面PAD的法向量可取$\boldsymbol{n}=(1,0,0)$.
$\overrightarrow{BM}·\boldsymbol{n}=0×1+1×0+1×0=0$，则$\overrightarrow{BM}\perp\boldsymbol{n}$.
又$BM\not\subset$平面PAD，故$BM//$平面PAD.
(2)解：存在.
设$N(0,a,b)\in$平面PAD.
$\overrightarrow{PB}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2,-2)$.
设平面PBD的法向量$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，则
$\begin{cases}x-2z=0\\2y-2z=0\end{cases}$，令$z=1$，得$\boldsymbol{m}=(2,1,1)$.
$\overrightarrow{MN}=(-1,a-1,b-1)$.
由$\overrightarrow{MN}//\boldsymbol{m}$，得$(-1,a-1,b-1)=\lambda(2,1,1)$.
解得$\lambda=-\frac{1}{2}$，$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$.
故$N(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
(1)得证；
(2)存在，$N$的位置为$(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是正方形，侧棱$PD\perp$底面$ABCD$，$PD = DC$，$E$是$PC$的中点，作$EF\perp PB$于点$F$。

(1)证明：$PA//$平面$EDB$；
(2)证明：$PB\perp$平面$EFD$。

答案：
(1)
连接$AC$，$AC$交$BD$于点$G$，连接$EG$。
因为底面$ABCD$是正方形，所以$G$为$AC$的中点。
又因为$E$是$PC$的中点，所以在$\triangle PAC$中，$EG// PA$。
因为$EG\subset$平面$EDB$，$PA\not\subset$平面$EDB$，所以$PA//$平面$EDB$。
(2)
因为$PD\perp$底面$ABCD$，$DC\subset$底面$ABCD$，$BC\subset$底面$ABCD$，所以$PD\perp DC$，$PD\perp BC$。
因为底面$ABCD$是正方形，所以$DC\perp BC$。
因为$PD\cap DC = D$，所以$BC\perp$平面$PDC$。
因为$DE\subset$平面$PDC$，所以$BC\perp DE$。
因为$PD = DC$，$E$是$PC$的中点，所以$DE\perp PC$。
因为$PC\cap BC = C$，所以$DE\perp$平面$PBC$。
因为$PB\subset$平面$PBC$，所以$DE\perp PB$。
又因为$EF\perp PB$，$DE\cap EF = E$，所以$PB\perp$平面$EFD$。