《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次。
(1) 两次都是正面向上的概率是多少？
(2) 如果已知有一次出现正面向上，两次都是正面向上的概率是多少？
(3) 在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

答案： 问题1.
(1)两次抛掷硬币,试验结果的样本点组成的样本空间$\Omega$={正正,正反,反正,反反},其中两次都是正面向上的事件记为B,则B={正正},故$P(B)=\frac{1}{4}$.
(2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A,两次都是正面向上的事件记为B,则A={正正,正反,反正},那么,在A发生的条件下,B发生的概率为$\frac{1}{3}$.
(3)将第一次出现正面向上的事件记为C,第二次出现正面向上的事件记为B,则C={正正,正反},那么,在C发生的条件下,B发生的概率为$\frac{1}{2}$.

设$A$，$B$为两个随机事件，且$P(A)>0$，我们称事件B发生的概率为在事件$A$发生的条件下事件$B$发生的条件概率，记为$P(B|A)$．
一般地，我们有条件概率公式：$P(B|A)$=$\frac{P(AB)}{P(A)}$．
在古典概型中，若用$n(A)$表示事件$A$中基本事件的个数，则有$P(B|A)$=$\frac{n(AB)}{n(A)}$．
条件概率$P(B|A)$的取值范围是$[0,1]$．
如果$B$和$C$是两个互斥事件，则$P(B\cup C|A)$=$P(B|A)$+P(C|A)．

答案： 事件B发生 $P(B|A)$=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{n(AB)}{n(\Omega)}}{\frac{n(A)}{n(\Omega)}}$=$\frac{n(AB)}{n(A)}$ $[0,1]$ $P(B|A)$+P(C|A)

1. 如何从集合角度看条件概率公式？
2. $P(B|A)$ 与 $P(AB)$ 有何大小关系？

答案： 1.若事件A已发生,则为使事件B也发生,试验结果必须既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于已知A已经发生,故A成为计算条件概率$P(B|A)$新的样本空间,因此有$P(B|A)$=$\frac{P(AB)}{P(A)}$.
2.$P(B|A)\geq P(AB)$.

典例 1 判断下列哪些是条件概率：
(1) 某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一年级的概率；
(2) 掷一枚骰子，求掷出的点数为 $3$ 的概率；
(3) 在一副扑克的 $52$ 张(去掉两张王牌后)中任取一张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花 $5$ 的概率。

答案： 典例1 解:由条件概率定义可知
(1)
(3)是条件概率,
(2)不是条件概率.