《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 3 (1)已知 $ F $ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的焦点，$ B $ 是虚轴的一个端点，线段 $ BF $ 与双曲线交于点 $ M $，且点 $ M $ 恰是线段 $ BF $ 的中点，则双曲线的离心率为(D)
A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$ 2 $
D.$\sqrt{5}$

答案： 典例3
(1)D
(1)不妨设$F(-c,0),B(0,b)$,则$M(-\frac{c}{2},\frac{b}{2})$.将点$M$坐标代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,得$\frac{c^{2}}{4a^{2}}-\frac{1}{4}=1$,则$\frac{c^{2}}{4a^{2}}=\frac{5}{4}$,即$\frac{c}{a}=\sqrt{5}$.故选D.

(2)已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$，$ O $ 为坐标原点，$ F_{1} $，$ F_{2} $ 为其左、右焦点，若左支上存在一点 $ P $，使得 $ F_{2}P $ 的中点 $ M $ 满足 $ |OM| = \frac{1}{5}c $，则双曲线的离心率 $ e $ 的取值范围是$(1,\frac{5}{3}]$.

答案： 典例3
(2)$(1,\frac{5}{3}$
(2)因为$O,M$分别为$F_1F_2,PF_2$的中点,所以$|PF_1| = 2|OM|=\frac{2}{5}c$.
又双曲线上的点到焦点的最小距离为$c - a$,所以$\frac{2}{5}c\geqslant c - a＞0$,解得$1＜\frac{c}{a}\leqslant\frac{5}{3}$.因此双曲线的离心率$e$的取值范围是$(1,\frac{5}{3}$.

对点练 3 已知 $ A $，$ B $ 为双曲线 $ E $ 的左、右顶点，点 $ M $ 在双曲线 $ E $ 上，满足 $ \triangle ABM $ 为等腰三角形，顶角为 $ 120^{\circ} $，则双曲线 $ E $ 的离心率为（ ）

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$ 2 $
D.$\sqrt{5}$

答案：
对点练3.A 不妨取点$M$在第一象限,如图所示.设双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$,因为$\triangle ABM$

是顶角为$120^{\circ}$的等腰三角形,所以$|BM| = |AB| = 2a,\angle MBx = 60^{\circ}$,所以点$M$的坐标为$(2a,\sqrt{3}a)$.又因为点$M$在双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$上,所以将点$M$坐标代入方程得$4-\frac{3a^{2}}{b^{2}} = 1$,整理上式得$a^{2}=b^{2}$.而$c^{2}=a^{2}+b^{2}=2a^{2}$,所以$e^{2}=2$,因此$e=\sqrt{2}$.故选A.

典例 4 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的一条渐近线经过点 $ (-1,-\sqrt{3}) $，则该双曲线的离心率为(B)
A.$\sqrt{5}$
B.$ 2 $
C.$\sqrt{3}$
D.$ 4 $

答案： 典例4 B 易知双曲线的渐近线$y = \frac{b}{a}x$经过点$(-1,-\sqrt{3})$,将$(-1,-\sqrt{3})$代入渐近线方程得$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$,所以$e = \sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}} = \sqrt{1 + 3}=2$.
故选B.

对点练 4 已知双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的右顶点为 $ A $，左、右焦点分别为 $ F_{1} $，$ F_{2} $，渐近线在第一象限的部分上存在一点 $ P $，且 $ |OP| = |OF_{1}| $，直线 $ PF_{1} $ 的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，则该双曲线的离心率为2.

答案： 对点练4.2 由双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$,可得渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$,设点$P$的坐标为$(x_0,\frac{b}{a}x_0)$,且$x_0＞0$,因为$|OP| = |OF_1|$,
即$x_0^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}}x_0^{2}=c^{2}$,解得$x_0^{2}=a^{2}$,即$x_0 = a$,所以点$P$的坐标为$(a,b)$,又
因为直线$PF_1$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$\frac{b}{a + c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,可得$\sqrt{3}b = a + c$,两边平方得$3b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac$,即$c^{2}-ac - 2a^{2}=0$,两边同时除以$a^{2}$,可得$e^{2}-e - 2=0$,即$(e - 2)(e + 1)=0$,解得$e = 2$或$e=-1$(舍去).

典例 5 如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作. 该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 的右支与 $ y $ 轴及平行于 $ x $ 轴的两条直线围成的曲边四边形 $ ABMN $ 绕 $ y $ 轴旋转一周得到的几何体. 若该金杯主体部分的上口外直径为 $\frac{10\sqrt{3}}{3}$，下底座外直径为 $\frac{2\sqrt{39}}{3}$，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的 $ 2 $ 倍，则杯身最细之处的周长为（C）

A.$ 2\sqrt{2}\pi $
B.$ 3\pi $
C.$ 2\sqrt{3}\pi $
D.$ 4\pi $

答案： 典例5 C 该金杯主体部分的上口外直径为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$,下底座外直径为$\frac{2\sqrt{39}}{3}$,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的$2$倍,可设$M(\frac{5\sqrt{3}}{3},2m),N(\frac{\sqrt{39}}{3},-m)$,代入双曲线方程可得$\frac{25}{a^{2}}-\frac{4m^{2}}{b^{2}} = 1,\frac{13}{a^{2}}-\frac{m^{2}}{b^{2}} = 1$,即$\frac{25}{a^{2}}-\frac{4}{a^{2}}·\frac{3}{4}m^{2}=1,\frac{13}{a^{2}}-\frac{3}{4}·\frac{m^{2}}{b^{2}} = 1$,作差可得$\frac{12}{a^{2}}=\frac{3}{4}$,解得$a^{2}=3,a=\sqrt{3}$,所以杯身最细处的周长为$2\sqrt{3}\pi$.故选C.

对点练 5 （新情境）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整. 如图①，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面. 某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图②，最细处的直径为 $ 100 \, m $，楼底的直径为 $ 50\sqrt{22} \, m $，楼顶直径为 $ 50\sqrt{6} \, m $，最细处距楼底 $ 300 \, m $，则该地标建筑的高为（ ）

A.$ 350 \, m $
B.$ 375 \, m $
C.$ 400 \, m $
D.$ 450 \, m $

答案：
对点练5.C 以地标建筑的最细处所在直线为$x$轴,双曲线的虚轴为$y$轴,建立平面直角坐标系如图所示,由题意可得$A(50,0),C(25\sqrt{22},-300)$,设$B(25\sqrt{6},y_0)(y_0＞0)$,双曲线的方程是$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$,则
$\begin{cases}a = 50\frac{(25\sqrt{22})^{2}}{50^{2}}-\frac{(-300)^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 50\\b = 100\sqrt{2}\end{cases}$
所以双曲线的方程是$\frac{x^{2}}{2500}-\frac{y^{2}}{20000}=1$,将点$B(25\sqrt{6},y_0)$代入得$\frac{25^{2}×6}{2500}-\frac{y_0^{2}}{20000}=1$,解得$y_0 = 100$,所以该地标建筑的高为$300 + 100 = 400(m)$.

故选C.