《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，有一点 $ P(x_0,y_0) $，直线 $ l:Ax + By + C = 0 $(其中 $ A,B $ 不全为 0)，如何求出点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离 $ d $ 呢？

答案：
点P到直线$l$的距离就是点P到直线$l$的垂线段$PQ$的长，如图所示，过点P作直线$l$的垂线为$l'$，垂足为Q，

由$l'\perp l$可知$l'$的斜率为$-\frac{B}{A}$，所以$l'$的方程为$y - y_0 = -\frac{B}{A}(x - x_0)$，与$l$联立方程组，解得交点Q$\left(\frac{B^2x_0 - ABy_0 - AC}{A^2 + B^2},\frac{A^2y_0 - ABx_0 - BC}{A^2 + B^2}\right)$，所以$\vert PQ\vert = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，即$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

问题 2. 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离呢？

答案： 设$M(x_1,y_1)$是直线$l$上任意一点，我们可以把线段$PN$的长理解成向量$\overrightarrow{PM}$在直线$l$的法向量$\mathbf{n} = (A,B)$方向上的投影向量的长度。
所以$d = \vert\frac{\overrightarrow{PM}·\mathbf{n}}{\vert\mathbf{n}\vert}\vert = \frac{\vert(x_1 - x_0,y_1 - y_0)·(A,B)\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert A(x_1 - x_0) + B(y_1 - y_0)\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ ①
因为点$M(x_1,y_1)$在直线$l:Ax + By + C = 0$上，所以$Ax_1 + By_1 + C = 0$，
所以$A(x_1 - x_0) + B(y_1 - y_0) = Ax_1 + By_1 - (Ax_0 + By_0) = - C - Ax_0 - By_0$，②
将②代入①，我们就得到了点$P(x_0,y_0)$到直线$l:Ax + By + C = 0$的距离公式$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$（其中$A,B$不全为$0$）。

微提醒
（1）利用公式时直线的方程必须是一般式。
（2）分子含有绝对值。
（3）若直线方程为 $ Ax + By + C = 0 $，则当 $ A = 0 $ 或 $ B = 0 $ 时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解。

垂线段$\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

答案： 垂线段$\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

典例 1
（链教材 P23 例 23）求下列点到直线的距离：
（1）原点到 $ y = x + 3 $ 的距离；
（2）$(-1,2)$ 到 $ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 $ 的距离；
（3）$(3,6)$ 到 $ y = 1 $ 的距离。

答案： （1）$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；（2）2；（3）5

（1）点 $ P(0,1) $ 到直线 $ x - y - 1 = 0 $ 的距离等于（B）
A.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
B.$ \sqrt{2} $
C.1
D.2

答案： （1）B

（2）（多选题）若点 $ P(3,a) $ 到直线 $ x + \sqrt{3}y - 4 = 0 $ 的距离为 1，则 $ a $ 的值为（AD）
A.$ \sqrt{3} $
B.$ -\sqrt{3} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

答案： （2）AD