《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 仿照椭圆的简单几何性质的讨论方法，根据双曲线 $ C $ 的标准方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$ 和图象(如图)，如何研究双曲线 $ C $ 的范围、对称性、顶点、离心率等性质？

答案： 问题1.
(1)范围:利用双曲线的方程求出它的范围,由方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$可得$\frac{x^{2}}{a^{2}}=1+\frac{y^{2}}{b^{2}}\geqslant1,y\in R$,即$x\geqslant a$或$x\leqslant -a,y\in R$.因此,双曲线$C$在不等式$x\leqslant -a$与$x\geqslant a$所表示的区域内,即位于两条直线$x = -a$和$x = a$外侧的区域.
(2)对称性:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$关于$x$轴、$y$轴和原点都对称.$x$轴、$y$轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又称为双曲线的中心.
(3)顶点:双曲线与它的对称轴的交点,叫作双曲线的顶点.顶点是$A_1(-a,0),A_2(a,0)$,只有两个.
(4)离心率:①定义:$e = \frac{c}{a}$.②$e$的范围:$e＞1$.③$e$的含义:因为$c＞a＞0$,所以可以看出$e＞1$,另外,注意到$\frac{b}{a} = \sqrt{\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1} = \sqrt{e^{2}-1}$,说明$e$越趋近于1,则$\frac{b}{a}$的值越小,因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.

问题 2. 如图，线段 $ A_{1}A_{2} $ 的长为 $ 2a $，线段 $ B_{1}B_{2} $ 的长为 $ 2b $. 据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线 $ y = \pm \frac{b}{a}x $ 有什么关系？

答案： 问题2.双曲线在第一象限部分的方程为$y = \frac{b}{a}·\sqrt{x^{2}-a^{2}}$,它与$y = \frac{b}{a}x$的位置关系:在$y = \frac{b}{a}x$的下方.它与$y = \frac{b}{a}x$的位置的变化趋势:慢慢靠近.其他象限同理.

双曲线的简单几何性质
[微提醒] （1）$ e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} $. （2）双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，$ e $ 越大，开口越大. （3）写双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. （4）焦点到渐近线的距离为 $ b $.


新知构建$F_1(-c,0),F_2(c,0)$$F_1(0,-c),F_2(0,c)$$(-a,0),(a,0)$$(0,-a),(0,a)$$\frac{2a}{b}$$\frac{2b}{a}$$\pm \frac{b}{a}x$$\pm \frac{a}{b}x$$\frac{c}{a}$

答案： 新知构建$F_1(-c,0),F_2(c,0) \quad F_1(0,-c),F_2(0,c) \quad (-a,0),(a,0) \quad (0,-a),(0,a) \quad \frac{2a}{b} \frac{2b}{a} \pm \frac{b}{a}x \pm \frac{a}{b}x \frac{c}{a}$

典例 1 (链教材 P65 例 4，P67 例 5)求双曲线 $ 9y^{2} - 4x^{2} = -36 $ 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

答案： 典例1 解:将$9y^{2}-4x^{2}=-36$化为标准方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$,
所以$a = 3,b = 2,c = \sqrt{13}$.
所以双曲线的顶点坐标为$A_1(-3,0),A_2(3,0)$,焦点坐标为$F_1(-\sqrt{13},0),F_2(\sqrt{13},0)$,
实轴长$2a = 6$,虚轴长$2b = 4$,离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3}$,
渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{2}{3}x$.