《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知椭圆 $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0) $ 的离心率 $ e = \frac{\sqrt{6}}{3} $，上顶点是 $ P $，左、右焦点分别是 $ F_1 $，$ F_2 $，若椭圆经过点 $ (\sqrt{2},\frac{\sqrt{3}}{3}) $.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 点 $ A $ 和 $ B $ 是椭圆上的两个动点，点 $ A $，$ B $，$ P $ 不共线，直线 $ PA $ 和 $ PB $ 的斜率分别是 $ k_1 $ 和 $ k_2 $，若 $ k_1k_2 = \frac{2}{3} $，求证直线 $ AB $ 经过定点，并求出该定点的坐标.

答案：
(1)因为椭圆的离心率$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$，椭圆经过点$(\sqrt{2},\frac{\sqrt{3}}{3})$，
所以$\begin{cases}e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{(\sqrt{2})^{2}}{b^{2}} = 1,\end{cases}$又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，解得$a^{2}=3,b^{2}=1,c^{2}=2$。
所以椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$。
(2)证明：若直线$AB$的斜率不存在，设直线$AB$的方程为$x = m,m\in(-\sqrt{3},\sqrt{3}).A(m,n),B(m,-n),\frac{m^{2}}{3}+n^{2}=1$。
$k_{1}· k_{2}=\frac{n - 1}{m}·\frac{-n - 1}{m}=\frac{1 - n^{2}}{m^{2}}=\frac{1}{3}\neq\frac{2}{3}$，显然不符合题意。
故设直线$AB$的方程为$y = kx + b,A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，
联立$\begin{cases}\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1,\\y = kx + b.\end{cases}$得$(1 + 3k^{2})x^{2}+6kbx + 3b^{2}-3 = 0$，
所以$x_{1}+x_{2}=\frac{-6kb}{1 + 3k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{3b^{2}-3}{1 + 3k^{2}}$，
$k_{1}=\frac{y_{1}-1}{x_{1}},k_{2}=\frac{y_{2}-1}{x_{2}}$，
所以$k_{1}· k_{2}=\frac{kx_{1}+b - 1}{x_{1}}·\frac{kx_{2}+b - 1}{x_{2}}$
$=\frac{k^{2}x_{1}x_{2}+k(b - 1)(x_{1}+x_{2})+(b - 1)^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(b - 1)^{2}}{3(b^{2}-1)}=\frac{2}{3}$，
解得$b=-3$，所以直线$AB$的方程为$y = kx - 3$。
所以直线$AB$过定点$(0,-3)$。

典例 2
已知椭圆 $ C:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a＞b\geq1) $ 的离心率为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $，其上焦点到直线 $ bx + 2ay - \sqrt{2} = 0 $ 的距离为 $ \frac{\sqrt{2}}{3} $.
(1) 求椭圆 $ C $ 的方程；
(2) 过点 $ P(\frac{1}{3},0) $ 的直线 $ l $ 交椭圆 $ C $ 于 $ A $，$ B $ 两点，试探究以线段 $ AB $ 为直径的圆是否过定点，若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.

答案：
(1)由题意得，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$a=\sqrt{2}b,c = b$，
又$\frac{\vert2ac-\sqrt{2}\vert}{\sqrt{4a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，$a＞b\geq1$，所以$b^{2}=1,a^{2}=2$，
故椭圆$C$的方程为$\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$。
(2)当$AB\perp x$轴时，以线段$AB$为直径的圆的方程为$(x-\frac{1}{3})^{2}+y^{2}=\frac{16}{9}$。
当$AB\perp y$轴时，以线段$AB$为直径的圆的方程为$x^{2}+y^{2}=1$，
可得两圆交点为$Q(-1,0)$，
由此可知，若以线段$AB$为直径的圆恒过定点，则该定点为$Q(-1,0)$。
下证$Q(-1,0)$符合题意。
设直线$l$的斜率存在，且不为$0$，
其方程为$y=k(x-\frac{1}{3})$，代入$\frac{y^{2}}{2}+x^{2}=1$，
并整理得$(k^{2}+2)x^{2}-\frac{2}{3}k^{2}x+\frac{1}{9}k^{2}-2 = 0$，
设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}}{3(k^{2}+2)},x_{1}x_{2}=\frac{k^{2}-18}{9(k^{2}+2)}$，
所以$\overrightarrow{QA}·\overrightarrow{QB}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1+k^{2}(x_{1}-\frac{1}{3})(x_{2}-\frac{1}{3})=(1 + k^{2})x_{1}x_{2}+(1-\frac{1}{3}k^{2})(x_{1}+x_{2})+1+\frac{1}{9}k^{2}=(1 + k^{2})·\frac{k^{2}-18}{9(k^{2}+2)}+(1-\frac{1}{3}k^{2})·\frac{2k^{2}}{3(k^{2}+2)}+1+\frac{1}{9}k^{2}=0$，故$\overrightarrow{QA}\perp\overrightarrow{QB}$，即$Q(-1,0)$在以线段$AB$为直径的圆上，以线段$AB$为直径的圆恒过定点$(-1,0)$。

已知双曲线 $ C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $ 经过点 $ (2,-3) $，一条渐近线的斜率为 $ \sqrt{3} $，直线 $ l $ 交双曲线于 $ A $，$ B $ 两点.
(1) 求双曲线 $ C $ 的方程；
(2) 若动直线 $ l $ 经过双曲线的右焦点 $ F_2 $，点 $ M(-1,0) $，求证：以 $ AB $ 为直径的圆经过点 $ M $.

答案：
(1)由题意知，$\frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$，解得$\begin{cases}a = 1,\\b=\sqrt{3}.\end{cases}$
所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$。
(2)证明：由
(1)得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2,F_{2}(2,0)$，
若直线$l$的斜率不存在，则其方程为$x = 2$，
将$x = 2$代入双曲线$C$方程，有$2^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$，解得$y=\pm3$，
此时$A(2,3),B(2,-3),F_{2}$是$AB$中点，
由于$\vert F_{2}A\vert=\vert F_{2}B\vert=\vert F_{2}M\vert$，故以$AB$为直径的圆经过点$M$；
若直线$l$的斜率存在，设其方程为$y = k(x - 2),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，
联立$\begin{cases}y = k(x - 2),\\x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1.\end{cases}$得$(3 - k^{2})x^{2}+4k^{2}x-(4k^{2}+3)=0$，
所以当$k\neq\pm\sqrt{3}$时，$\Delta=16k^{4}+4(3 - k^{2})(4k^{2}+3)=36(k^{2}+1)＞0$，该方程有两解，
所以$x_{1}+x_{2}=\frac{4k^{2}}{k^{2}-3},x_{1}x_{2}=\frac{4k^{2}+3}{k^{2}-3}$，
所以$\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)+y_{1}y_{2}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)+k^{2}(x_{1}-2)(x_{2}-2)=(1 + k^{2})x_{1}x_{2}+(1 - 2k^{2})(x_{1}+x_{2})+1 + 4k^{2}=(1 + k^{2})·\frac{4k^{2}+3}{k^{2}-3}+(1 - 2k^{2})·\frac{4k^{2}}{k^{2}-3}+1 + 4k^{2}=4k^{4}+7k^{2}+3+4k^{2}-8k^{2}+4k^{4}-11k^{2}-3=0$，
所以$\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$，即以$AB$为直径的圆经过点$M$，
综上所述，以$AB$为直径的圆经过点$M$。