《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题3. 仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，如何选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程？
问题4. 设双曲线的焦点为$F_{1}$和$F_{2}$，焦距为$2c$，而且双曲线上的动点$P$满足$\left| \left| PF_{1} \right| - \left| PF_{2} \right| \right|$
$= 2a$，其中$c＞a＞0$，以直线$F_{1}F_{2}$为$y$轴，线段$F_{1}F_{2}$的垂直平分线为$x$轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？

答案：
问题导思
问题3.观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线$F_1F_2$是它的一条对称轴，所以以直线$F_1F_2$为$x$轴，线段$F_1F_2$的垂直平分线为$y$轴，建立平面直角坐标系，则焦点$F_1,F_2$的坐标分别为$(-c,0)$，$(c,0)$，$c＞0$.设$P(x,y)$是双曲线上任意一点，则根据双曲线的定义可得$||PF_1|-|PF_2||=2a$，即$|PF_1|-|PF_2|= \pm 2a$，因为$|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$，$|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$，所以$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}= \pm 2a$，化简、整理可得$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$．根据双曲线的定义可知，$2c＞2a＞0$，所以$c^2-a^2＞0$，设$b^2=c^2-a^2(b＞0)$，代入上式，得$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2$，即$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0)$．
问题4.$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a＞0,b＞0)$．

双曲线的标准方程

[微提醒]（1）若$x^{2}$项的系数为正，则焦点在$x$轴上；若$y^{2}$项的系数为正，则焦点在$y$轴上.（2）$a$与$b$没有大小关系；$a,b,c$的关系满足$c^{2} = a^{2} + b^{2}$.

答案： $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ $F_1(0,-c),F_2(0,c)$ $c^2-a^2$

典例2(链教材 P62 例 1)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在$x$轴上，$a = 2\sqrt{5}$，经过点$A( - 5,2)$；
(2)经过$A( - 7, - 6\sqrt{2}),B(2\sqrt{7},3)$两点；
(3)过点$P( - \sqrt{2},2)$，且与椭圆$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$有相同焦点的双曲线方程.

答案： 典例2 解：
(1)因为$a=2\sqrt{5}$，且双曲线的焦点在$x$轴上，可设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{b^2}=1(b＞0)$，将点$A(-5,2)$的坐标代入双曲线的方程得$\frac{25}{20}-\frac{2^2}{b^2}=1$，解得$b^2=16$，所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1$．
(2)设双曲线的方程为$mx^2+ny^2=1(mn＜0)$，将点$A,B$的坐标代入双曲线方程可得$\begin{cases}49m+72n=1,\\28m+9n=1,\end{cases}$解得$m=\frac{1}{25},n=-\frac{1}{75}$，所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{75}=1$．
(3)由题意知，椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标为$F_1(-\sqrt{5},0),F_2(\sqrt{5},0)$，所以可设双曲线标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a^2+b^2=5$，代入点$P(-\sqrt{2},2)$可得$\frac{2}{a^2}-\frac{4}{b^2}=1$，联立解得$a^2=1,b^2=4$，所以双曲线的标准方程为$x^2-\frac{y^2}{4}=1$．

对点练2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）经过点$A(4\sqrt{2},3)$，且$a = 4$；
（2）经过点$A(2,\frac{2\sqrt{3}}{3}),B(3, - 2\sqrt{2})$.

答案： 对点练2.
(1)若双曲线的焦点在$y$轴上，则$\frac{9}{16}-\frac{32}{b^2}=1$，不成立，可知双曲线的焦点在$x$轴上，设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1(b＞0)$，代入点$A(4\sqrt{2},3)$，即$\frac{32}{16}-\frac{9}{b^2}=1$，解得$b^2=9$，所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$．
(2)设双曲线的方程为$mx^2+ny^2=1(mn＜0)$，代入点$A(2,\frac{2\sqrt{3}}{3}),B(3,-2\sqrt{2})$，可得$\begin{cases}4m+\frac{4}{3}n=1,\\9m+8n=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{1}{3},\\n=-\frac{1}{4}.\end{cases}$所以双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$．