《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例5判断5555+9是否能被8整除？并推理
证明.

答案： 解：能被8整除,证明如下：
因为$5^{55} + 9 = (56 - 1)^{55} + 9 = C_{55}^056^{55} + C_{55}^156^{54}(-1)^1 + C_{55}^256^{53}(-1)^2 + ·s + C_{55}^{55}56^1(-1)^{54} + C_{55}^{55}(-1)^{55} + 9$
$=C_{55}^056^{55} + C_{55}^156^{54}(-1)^1 + C_{55}^256^{53}(-1)^2 + ·s + C_{55}^{54}56^1(-1)^{54} + 8,$
注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除,
所以$5^{55} + 9$能被8整除.

对点练4.(1)已知今天是星期四，则67−1天后是
( )
A.星期一
B.星期二
C.星期三
D.星期五

答案：
(1)B

(2)已知(x−1)(mx+1)7=ao+a1x+a2x²+…
+agx8.
①若m=−1,求a1+a3+a5+a7的值;
②若a2=−70,求m的值.

答案：
(2)解：①在$(x - 1)(-x + 1)^7 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_8x^8$中,取x = 1,得$0 = a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_8,$取x = -1,得$-256 = a_0 - a_1 + ·s + a_8,$以上两式相减,得$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 128.$$②(mx + 1)^7$的通项为$T_{k + 1} = C_7^k(mx)^{7 - k} = m^{7 - k}C_7^kx^{7 - k},$若$a_2 = -70,$可得$mC_7^6 - m^2C_7^5 = -70,$所以$3m^2 - m - 10 = 0,$解得m = 2或$-\frac{5}{3}.$