《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 3. 如何根据平面向量中一个向量在另一个向量方向上的投影向量与投影数量定义空间向量中的投影向量与投影数量？

答案： 空间向量的投影向量与投影数量定义
1. 投影数量：设空间向量$\vec{a}$，$\vec{b}$（$\vec{b}\neq\vec{0}$），它们的夹角为$\theta$（$0\leq\theta\leq\pi$），则$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影数量为$|\vec{a}|\cos\theta$，也可表示为$\frac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{b}|}$。
2. 投影向量：$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影向量为投影数量与$\vec{b}$方向上单位向量的乘积，即$\left(\frac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$（或$|\vec{a}|\cos\theta·\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$）。

1. 投影向量的定义：已知两个非零向量 $a$，$b$，在空间任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA} = a$，$\overrightarrow{OB} = b$，过点 $B$ 作直线 $OA$ 的垂线，垂足为点 $B_1$，称向量$\overrightarrow{OB_1}$为向量 $b$ 在向量 $a$ 方向上的投影向量，其长度等于$|b|\cos\langle a,b\rangle$。当 $\langle a,b\rangle$ 为锐角时，$|b|\cos\langle a,b\rangle$＞$0$（如图①）；当 $\langle a,b\rangle$ 为钝角时，$|b|\cos\langle a,b\rangle$＜$0$（如图②）；当 $\langle a,b\rangle = \frac{\pi}{2}$ 时，$|b|\cos\langle a,b\rangle$=$0$（如图③）。
2. 投影数量的定义：若用 $a_0$ 表示与向量 $a$（$a\neq 0$）同方向的单位向量，则向量 $b$ 在向量 $a$ 方向上的投影向量为 $\overrightarrow{OB_1} = |b|\cos\langle a,b\rangle a_0$。因此，称$|b|\cos\langle a,b\rangle$为投影向量 $\overrightarrow{OB_1}$ 的数量，也称为向量 $b$ 在向量 $a$ 方向上的投影数量。向量 $b$ 在向量 $a$ 方向上的投影数量为$|b|\cos\langle a,b\rangle$$ = \frac{a· b}{|a|} = $$a_0· b$。

答案： 1. $\overrightarrow{OB_1}$；$|b|\cos\langle a,b\rangle$；$＞$；$＜$；$=$
2. $|b|\cos\langle a,b\rangle$；$|b|\cos\langle a,b\rangle$；$a_0· b$

典例 3
已知向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $60^{\circ}$，$|a| = 2$，$|b| = 6$，则 $2a - b$ 在 $a$ 方向上的投影数量为1。

答案： 向量$2a - b$在$a$方向上的投影数量为$(2a - b) · \frac{a}{|a|}$（根据投影数量公式）。
计算$(2a - b)· a$：
根据向量数量积的分配律$(m - n)· p = m· p - n· p$，可得$(2a - b)· a = 2a· a - b· a$。
根据向量数量积的性质$m· m = |m|^2$，则$a· a = |a|^2$，已知$|a| = 2$，所以$a· a = 2^2 = 4$。
根据向量数量积公式$m· n = |m|×|n|×\cos\theta$（其中$\theta$为$m$与$n$的夹角），已知向量$a$与$b$的夹角为$60^{\circ}$，$|a| = 2$，$|b| = 6$，则$b· a = |b|×|a|×\cos60^{\circ}= 6×2×\frac{1}{2} = 6$。
所以$(2a - b)· a = 2×4 - 6 = 2$。
计算投影数量：
已知$|a| = 2$，则$(2a - b)$在$a$方向上的投影数量为$\frac{(2a - b)· a}{|a|} = \frac{2}{2} = 1$。
故答案为$1$。

已知 $|a| = 3$，$|b| = 5$，$a· b = -12$ 且 $e$ 是与 $b$ 方向相同的单位向量，则 $a$ 在 $b$ 方向上的投影向量为$-\frac{12}{5}e$。

答案： $-\frac{12}{5}e$

典例 4
如图，已知空间四边形 $ABCD$ 的各边和对角线的长都为 $a$，点 $M$，$N$ 分别是 $AB$，$CD$ 的中点。证明：$MN\perp AB$。

答案： 设$\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow {AC}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow {AD}=\boldsymbol{d}$，
因为空间四边形$ABCD$的各边和对角线的长都为$a$，
则$\vert\overrightarrow {AB}\vert=\vert\overrightarrow {AC}\vert=\vert\overrightarrow {AD}\vert=\vert\overrightarrow {BC}\vert=\vert\overrightarrow {BD}\vert=\vert\overrightarrow {CD}\vert = a$，
即$\vert\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{c}\vert=\vert\boldsymbol{d}\vert = a$，$\vert\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{d}-\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c}\vert = a$。
由$\vert\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}\vert^{2}=(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{c}^{2}-2\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=a^{2}$，
将$\vert\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{c}\vert = a$代入可得：
$a^{2}-2\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}+a^{2}=a^{2}$，
解得$\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}=\frac{a^{2}}{2}$，
同理$\boldsymbol{d}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{d}·\boldsymbol{c}=\frac{a^{2}}{2}$。
因为$M$，$N$分别是$AB$，$CD$的中点，
所以$\overrightarrow {AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$，$\overrightarrow {DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow {DC}$，
$\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {AN}-\overrightarrow {AM}=(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DN})-\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$
$= \overrightarrow {AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow {DC}-\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$
$=\overrightarrow {AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AD})-\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow {AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$
$=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}-\boldsymbol{b})$
则$\overrightarrow {MN}·\overrightarrow {AB}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}-\boldsymbol{b})·\boldsymbol{b}$
$=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{d}·\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}^{2})$
将$\boldsymbol{c}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{d}·\boldsymbol{b}=\frac{a^{2}}{2}$，$\vert\boldsymbol{b}\vert = a$代入上式可得：
$\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-a^{2})$
$=\frac{1}{2}(a^{2}-a^{2})$
$= 0$
因为$\overrightarrow {MN}·\overrightarrow {AB} = 0$，
所以$\overrightarrow {MN}\perp\overrightarrow {AB}$，
即$MN\perp AB$。
综上，证明完成。

如图，已知三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 的侧棱垂直于底面，$\angle BAC = 90^{\circ}$。求证：$AB\perp AC_1$。

答案： 证明：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$。
又因为三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的侧棱垂直于底面，所以$AA_1\perp$平面$ABC$，则$AA_1\perp AB$，即$\overrightarrow{AA_1}·\overrightarrow{AB} = 0$。
$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AC}$。
则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0 + 0=0$。
所以$AB\perp AC_1$。