《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

答案： 可以.直线斜率存在时,点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$为二元一次方程;斜率不存在时,$x - x_0 = 0$也可以认为是$y$的系数为0的二元一次方程.

问题2. 任何关于x，y的二元一次方程Ax + By + C = 0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？

答案： 可以，任何关于$x,y$的二元一次方程$Ax + By + C = 0(A,B$不全为0)，当$B \neq 0$时，$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$，它表示平面直角坐标系中的一条与$x$轴不垂直的直线(其中$-\frac{A}{B}$是直线的斜率);当$B = 0$，且$A \neq 0$时，$x = -\frac{C}{A}$，它表示平面直角坐标系中的一条与$x$轴垂直的直线.

1. 直线方程的一般式
(1)定义：关于x，y的二元一次方程$Ax + By + C = 0$(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式.
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
(3)几何意义：①当B≠0时，则- $\frac{A}{B}$ = k(斜率)，- $\frac{C}{B}$ = b(y轴上的截距)；
②当B = 0，且A≠0时，则- $\frac{C}{A}$ = a(x轴上的截距)，此时不存在斜率.
[微提醒] 直线方程的一般式的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (2)x的系数一般不为分数和负数. (3)解题时，如无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.

答案： 1.
(1)$Ax + By + C = 0$
(2)$y - y_1 = k(x - x_1)$ 不垂直于$x$轴的直线 $y = kx + b$ 不垂直于$x,y$轴的直线 不垂直于$x,y$轴的直线,不过原点的直线 $Ax + By + C = 0$ $A,B$不全为零

2. 直线方程五种形式的比较


点斜式：$y - y_1 = k(x - x_1)$，不垂直于$x$轴的直线；斜截式：$y = kx + b$，不垂直于$x$轴的直线；两点式：不垂直于$x$轴和$y$轴的直线；截距式：不垂直于$x$轴和$y$轴且不过原点的直线；一般式：$Ax + By + C = 0$（$A$，$B$不同时为$0$），平面直角坐标系内的所有直线。

答案： 点斜式：$y - y_1 = k(x - x_1)$，不垂直于$x$轴的直线；斜截式：$y = kx + b$，不垂直于$x$轴的直线；两点式：不垂直于$x$轴和$y$轴的直线；截距式：不垂直于$x$轴和$y$轴且不过原点的直线；一般式：$Ax + By + C = 0$（$A$，$B$不同时为$0$），平面直角坐标系内的所有直线。

[微思考] 当直线满足如下位置关系时，直线方程Ax + By + C = 0的系数A，B，C满足什么条件？

(1)与两条坐标轴都相交；(2)直线只与x轴相交；

(3)直线只与y轴相交；(4)直线与x轴重合；

(5)直线与y轴重合.

答案：
(1)当$A \neq 0,B \neq 0$;
(2)当$A \neq 0,B = 0,C \neq 0$;
(3)当$A = 0,B \neq 0$,$C \neq 0$;
(4)当$A = 0,B \neq 0,C = 0$;
(5)当$A \neq 0,B = 0,C = 0$.

典例1 (链教材P13例11) 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
(1)斜率是$\sqrt{3}$，且经过点A(5，3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为-2；
(3)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别为-3，-1.

答案： 解：
(1)由直线方程的点斜式得$y - 3 = \sqrt{3}(x - 5)$，
即$\sqrt{3}x - y - 5\sqrt{3} + 3 = 0$.
(2)由直线方程的斜截式得直线方程为$y = 4x - 2$，即$4x - y - 2 = 0$.
(3)由直线方程的两点式得$\frac{y - 5}{1 - 5} = \frac{x - (-1)}{2 - (-1)}$，即$2x + y - 3 = 0$.
(4)由直线方程的截距式得直线方程为$\frac{x}{-3} + \frac{y}{-1} = 1$，即$x + 3y + 3 = 0$.