《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

探究点一 直线的方程
典例1 已知点A(1,3), B(3,1), C(-1,0). 求：
(1) BC边上的中线所在直线的方程；
(2) BC边上的高所在直线的方程；
(3) 三角形ABC的面积.

答案： 典例1 解：
(1)因为$A(1,3)$，$B(3,1)$，$C(-1,0)$，
所以线段$BC$的中点坐标为$(1,\frac{1}{2})$。
易知$BC$边上的中线所在直线的斜率不存在，
所以$BC$边上的中线所在的直线方程为$x=1$。
(2)因为$k_{BC}=\frac{0-1}{-1-3}=\frac{1}{4}$，
所以$BC$边上的高所在直线的斜率$k=-4$，
所以$BC$边上的高所在直线的方程为$y-3=-4(x-1)$，即$4x+y-7=0$。
(3)因为直线$BC$的方程为$y-0=\frac{1}{4}(x+1)$，即$x-4y+1=0$，则点$A$到直线$BC$的距离$d=\frac{\vert1-3×4+1\vert}{\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{17}}$，
又$\vert BC\vert=\sqrt{(-1-3)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{17}$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{10}{\sqrt{17}}×\sqrt{17}=5$。

(1) 已知直线l的一个法向量为(1,-2)，且经过点A(1,0)，则直线l的方程为（C）
A.x - y - 1 = 0
B.x + y - 1 = 0
C.x - 2y - 1 = 0
D.x + 2y - 1 = 0

答案：
(1)C
(1)直线$l$的一个法向量为$(1,-2)$，所以设直线$l$的方程为$x-2y+C=0$，代入点$A(1,0)$，得$1-0+C=0$，解得$C=-1$，故直线$l$的方程为$x-2y-1=0$。故选C。