《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

任务五 利用数量积求夹角和模
典例 5
(1) 如图，正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）$ABC - A_1B_1C_1$ 的各棱长都为 $2$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$A_1C_1$ 的中点，则 $EF$ 的长为____________。

$\sqrt{5}$

答案：
(1) 建立空间直角坐标系，设 $ A(0,0,0) $，$ B(2,0,0) $，$ C(1,\sqrt{3},0) $，$ A_1(0,0,2) $，$ C_1(1,\sqrt{3},2) $。
$ E $ 为 $ AB $ 中点，坐标为 $ (1,0,0) $；$ F $ 为 $ A_1C_1 $ 中点，坐标为 $ \left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},2 \right) $。
向量 $ \overrightarrow{EF} = \left( \frac{1}{2}-1,\frac{\sqrt{3}}{2}-0,2-0 \right) = \left( -\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},2 \right) $。
$ |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 4} = \sqrt{5} $。

(2) 已知空间四边形 $OABC$ 各边及对角线长都等于 $2$，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$OC$ 的中点，则异面直线 $OE$ 与 $BF$ 所成角的余弦值为 ______。

答案：
(2) 建立空间直角坐标系，设 $ O(0,0,0) $，$ A(2,0,0) $，$ B(1,\sqrt{3},0) $，$ C\left( 1,\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3} \right) $。
$ E $ 为 $ AB $ 中点，坐标为 $ \left( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0 \right) $；$ F $ 为 $ OC $ 中点，坐标为 $ \left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3} \right) $。
向量 $ \overrightarrow{OE} = \left( \frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0 \right) $，$ \overrightarrow{BF} = \left( \frac{1}{2}-1,\frac{\sqrt{3}}{6}-\sqrt{3},\frac{\sqrt{6}}{3}-0 \right) = \left( -\frac{1}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{3} \right) $。
$ \overrightarrow{OE} · \overrightarrow{BF} = \frac{3}{2} × \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} × \left( -\frac{5\sqrt{3}}{6} \right) + 0 × \frac{\sqrt{6}}{3} = -2 $。
$ |\overrightarrow{OE}| = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{3} $，$ |\overrightarrow{BF}| = \sqrt{\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5\sqrt{3}}{6} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2} = \sqrt{3} $。
异面直线 $ OE $ 与 $ BF $ 所成角的余弦值为 $ \frac{|\overrightarrow{OE} · \overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{OE}| · |\overrightarrow{BF}|} = \frac{2}{3} $。
(1) $ \sqrt{5} $
(2) $ \frac{2}{3} $

如图，平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形，且 $\angle C_1CB = \angle C_1CD = \angle BCD = 60^{\circ}$，$CD = CC_1 = 2$。
(1) 求 $AC_1$ 的长；
(2) 求异面直线 $CA_1$ 与 $DC_1$ 所成角的余弦值。

答案：
(1)设$\overrightarrow{CD}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{CB}=\mathbf{b}$，$\overrightarrow{CC_1}=\mathbf{c}$，则$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=2$，$\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\langle\mathbf{a},\mathbf{c}\rangle=\langle\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle=60°$，$\mathbf{a}·\mathbf{b}=\mathbf{a}·\mathbf{c}=\mathbf{b}·\mathbf{c}=2×2×\cos60°=2$。
$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CC_1}=(-\mathbf{a}-\mathbf{b})+\mathbf{c}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}$。
$|\overrightarrow{AC_1}|^2=(-\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c})^2=|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{c}|^2+2\mathbf{a}·\mathbf{b}-2\mathbf{a}·\mathbf{c}-2\mathbf{b}·\mathbf{c}=4+4+4+4-4-4=8$，故$AC_1=2\sqrt{2}$。
(2)$\overrightarrow{CA_1}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$，$\overrightarrow{DC_1}=\mathbf{c}-\mathbf{a}$。
$\overrightarrow{CA_1}·\overrightarrow{DC_1}=(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})·(\mathbf{c}-\mathbf{a})=-\mathbf{a}^2+\mathbf{b}·\mathbf{c}-\mathbf{a}·\mathbf{b}+\mathbf{c}^2=-4+2-2+4=0$。
$|\overrightarrow{CA_1}|=\sqrt{(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})^2}=\sqrt{4+4+4+4+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{DC_1}|=\sqrt{(\mathbf{c}-\mathbf{a})^2}=\sqrt{4+4-4}=2$。
异面直线$CA_1$与$DC_1$所成角余弦值为$\frac{|\overrightarrow{CA_1}·\overrightarrow{DC_1}|}{|\overrightarrow{CA_1}||\overrightarrow{DC_1}|}=0$。
(1)$2\sqrt{2}$；
(2)$0$。

1.(多选题)如图所示，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，下列各组向量的夹角为 $45^{\circ}$ 的是(AD)

A.$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{A_1C_1}$
B.$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{C_1A_1}$
C.$\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{C_1B}$
D.$\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{AD_1}$

答案： AD

2. 已知等边 $\triangle ABC$ 的边长为 $2$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 在向量 $\overrightarrow{CA}$ 方向上的投影向量为(A)
A.$-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
B.$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
C.$2\overrightarrow{AC}$
D.$2\overrightarrow{CA}$

答案： A

3.(多选题)已知空间四边形 $ABCD$ 的四条边和两条对角线的长都为 $a$，且 $E$，$F$，$G$ 分别是 $AB$，$AD$，$DC$ 的中点，则下列选项中运算结果为 $-a^2$ 的是(AC)
A.$2\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AC}$
B.$2\overrightarrow{AD}· \overrightarrow{BD}$
C.$2\overrightarrow{GF}· \overrightarrow{AC}$
D.$2\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{CB}$

答案： AC

4. 如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，底面边长与侧棱长均为 $a$，$M$，$N$ 分别是棱 $AB$，$CD$ 上的点，且 $MB = 2AM$，$CN = \frac{1}{2}ND$，则 $MN$ 的长为____________。

$\frac{\sqrt{5}}{3}a$

答案： $\frac{\sqrt{5}}{3}a$