《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时，载货小船开始不能通航？

答案：
解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。
设拱桥所在的抛物线方程为$x^{2}=-2py(p＞0)$，

由题意可知，点$B(4,-5)$在抛物线上，则$16=-2p×(-5)$，解得$p=\frac{8}{5}$，则$x^{2}=-\frac{16}{5}y$。当船面两侧和抛物线接触时，船刚好不能通航。
设此时船面宽为$AA'$，则$A(2,y_{A})$，由$2^{2}=-\frac{16}{5}y_{A}$，得$y_{A}=-\frac{5}{4}$。又
知船面露出水面上的部分高为$0.75m$，
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距$|y_{A}|+0.75 = 2(m)$时，载货小船开始不能通航。

对点练 4. 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征. 如图所示，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 3 cm，碗盖口直径为 8 cm，碗体口直径为 10 cm，碗体深 6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计） （C）

A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8.25 cm

答案： C

典例 5 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图，已知双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_{1} $，$ F_{2} $，$ M $ 是 $ C $ 的右支上一点，直线 $ l $ 与 $ C $ 相切于点 $ M $. 由点 $ F_{2} $ 出发的入射光线碰到点 $ M $ 后反射光线为 $ MQ $，法线(在光线投射点与分界面垂直的直线)交 $ x $ 轴于点 $ N $，此时直线 $ l $ 起到了反射镜的作用. 若 $ \frac{|MF_{2}|}{|NF_{2}|}=\frac{3}{4} $，则 $ C $ 的离心率为__________ .

$\frac{4}{3}$

答案： $\frac{4}{3}$

1. 对于抛物线 $ y=4x^{2} $，下列描述正确的是 （B）
A.开口向上，焦点为 $ (0,1) $
B.开口向上，焦点为 $ (0,\frac{1}{16}) $
C.开口向右，焦点为 $ (1,0) $
D.开口向右，焦点为 $ (\frac{1}{16},0) $

答案： B

2. (多选题)以 $ y $ 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 （CD）
A.$ y^{2}=8x $
B.$ y^{2}=-8x $
C.$ x^{2}=8y $
D.$ x^{2}=-8y $

答案： CD

3. 若抛物线 $ y^{2}=x $ 上一点 $ P $ 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 $ P $ 的坐标为 （B）
A.$ (\frac{1}{4},\pm \frac{\sqrt{2}}{4}) $
B.$ (\frac{1}{8},\pm \frac{\sqrt{2}}{4}) $
C.$ (\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}) $
D.$ (\frac{1}{8},\frac{\sqrt{2}}{4}) $

答案： B