《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 甲乙两人分别从$a$，$b$，$c$，$d$，$e$五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有(B)
A.30种
B.60种
C.45种
D.90种

答案： 1.B

2. 两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有(B)
A.10种
B.14种
C.20种
D.24种

答案： 2.B

3. 有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作56个三角形.

答案： 3.56

4. 现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品.
(1)试问共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？
(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？

答案： 4.（1）84；（2）24；（3）64

问题1. 在初中，我们用多项式乘法法则得到了$(a + b)^2$的展开式：$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a^2 + 2ab + b^2$。如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？
问题2. 你能根据问题1的分析，写出$(a + b)^3$的展开式吗？

答案： 问题1.从上述过程可以看到，$(a+b)^2$是2个$(a+b)$相乘，根据多项式乘法法则，每个$(a+b)$在相乘时有两种选择，选$a$或选$b$，而且每个$(a+b)$中的$a$或$b$都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，$(a+b)^2$的展开式共有$2×2 = 2^2$项，而且每一项都是$a^{2 - k}×b^{k}(k = 0,1,2)$的形式.而且$a^{2 - k}b^{k}$相当于是从2个$(a+b)$中取$k$个$(a+b)$提供$b$，$2 - k$个$(a+b)$提供$a$的项，即$a^{2 - k}b^{k}$的系数是$C_{2}^{k}$.
问题2.$(a+b)^3 = C_{3}^{0}a^{3}+C_{3}^{1}a^{2}b + C_{3}^{2}ab^{2}+C_{3}^{3}b^{3}$.