《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

2. 判断方法
几何法：两个圆的圆心距 $d$、两个圆的半径 $r_1$，$r_2$ 的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系：

2.$＞ = = ＜$

答案： 2.$＞ = = ＜$

[微思考] 1. (1) 当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
(2) 当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？

答案： 1.
(1)公切线的条数分别是4,3,2,1,0.
(2)当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公
切线.

2. 圆与圆的位置关系可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判断吗？

答案： 2.当有两组解时，两圆相交，可以用代数法判断；当有一组解或无解时，可以用代数法判断，因为当有一组解时，两圆位置关系是相切，但不能
判断是内切还是外切；当无解时，两圆位置关系是相离，但不能判断是外离，还是内含，所以此时还得重新用几何法进一步确定.

典例 1
已知圆 $C_1:x^2 + y^2 - 2ax - 2y + a^2 - 15 = 0$ ($a ＞ 0$)，圆 $C_2:x^2 + y^2 - 4ax - 2y + 4a^2 = 0$ ($a ＞ 0$)。试求当 $a$ 为何值时，两圆 $C_1$，$C_2$ 的位置关系为：
(1) 相切；(2) 相交；(3) 外离；(4) 内含。

答案： 典例1 解：圆$C_1,C_2$的方程经配方后可得
$C_1:(x - a)^2 + (y - 1)^2 = 16,C_2:(x - 2a)^2 + (y - 1)^2 = 1$,
所以圆心$C_1(a,1),C_2(2a,1)$，半径$r_1 = 4,r_2 = 1$.
所以$|C_1C_2| = \sqrt{(a - 2a)^2 + (1 - 1)^2} = a$.
(1)当$|C_1C_2| = r_1 + r_2 = 5$，即$a = 5$时，两圆外切；
图片2
当$|C_1C_2| = r_1 - r_2 = 3$，即$a = 3$时，两圆内切.
(2)当$3 ＜ |C_1C_2| ＜ 5$，即$3 ＜ a ＜ 5$时，两圆相交.
(3)当$|C_1C_2| ＞ 5$，即$a ＞ 5$时，两圆外离.
(4)当$|C_1C_2| ＜ 3$，即$0 ＜ a ＜ 3$时，两圆内含.

当实数 $k$ 为何值时，两圆 $C_1:x^2 + y^2 + 4x - 6y + 12 = 0$，$C_2:x^2 + y^2 - 2x - 14y + k = 0$ 相交、相切、外离？

答案： 对点练1.解：将两圆的一般方程化为标准方程，
$C_1:(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 1,C_2:(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 50 - k$.
圆$C_1$的圆心为$C_1(-2,3)$，半径长$r_1 = 1$；
圆$C_2$的圆心为$C_2(1,7)$，半径长$r_2 = \sqrt{50 - k}(k ＜ 50)$，
从而$|C_1C_2| = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (3 - 7)^2} = 5$.
当$1 + \sqrt{50 - k} = 5$，即$k = 34$时，两圆外切；
当$|\sqrt{50 - k} - 1| = 5$，即$\sqrt{50 - k} = 6$，即$k = 14$时，两圆内切；
当$|\sqrt{50 - k} - 1| ＜ 5 ＜ 1 + \sqrt{50 - k}$，即$14 ＜ k ＜ 34$时，两圆相交；
当$\sqrt{50 - k} + 1 ＜ 5$，即$34 ＜ k ＜ 50$时，两圆外离.