《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例3 (1)若方程$\frac{x^2}{25 - m} + \frac{y^2}{m + 9} = 1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围是(B)
A.$(-9,25)$
B.$(-9,8)\cup(8,25)$
C.$(8,25)$
D.$(8,+\infty)$

答案： （1）B
(1)依题意有$\begin{cases}25-m＞0,\\m+9＞0,\\m+9\neq25-m.\end{cases}$解得$-9＜m＜8$或$8＜m＜25$，即实数$m$的取值范围是$(-9,8)\cup(8,25)$．故选B.

(2)若方程$x^2 - 3my^2 = 1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$m$的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$.

答案： （2）$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$
(2)由题意知$m\neq0$，将椭圆方程化为$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{-\frac{1}{3m}}=1$，
依题意有$\begin{cases}-\frac{1}{3m}＞0,\\1＞-\frac{1}{3m}.\end{cases}$解得$m＜-\frac{1}{3}$．
故实数$m$的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$．

对点练3. （多选题）已知曲线$C$：$\frac{x^2}{m - 5} + \frac{y^2}{11 - m} = 1$，则（AB）
A.当$m = 8$时，$C$是圆
B.当$m = 10$时，$C$是焦距为$4$的椭圆
C.当$C$是焦点在$x$轴上的椭圆时，$5 ＜ m ＜ 8$
D.当$C$是焦点在$y$轴上的椭圆时，$8 ＜ m ＜ 11$

答案： AB 对于A，当$m=8$时，曲线$C$的方程为$x^2+y^2=3$；此时曲线为圆，故A正确；对于B，当$m=10$时，曲线$C$的方程为$\frac{x^2}{5}+y^2=1$，此时曲线为椭圆且椭圆$C$的焦距为$2\sqrt{5 - 1}=4$，故B正确；对于C，若曲线$C$是焦点在$x$轴上的椭圆，则$\begin{cases}m - 5＞11 - m,\\11 - m＞0.\end{cases}$解得$8＜m＜11$，故C错误；对于D，若曲线$C$是焦点在$y$轴上的椭圆，则$\begin{cases}m - 5＜11 - m,\\m - 5＞0.\end{cases}$解得$5＜m＜8$，故D错误.故选AB.

问题5. 类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？

答案： 将点的坐标代入椭圆的方程，看方程是否成立，即方程两边的大小关系.

典例4 已知直线$mx + ny - 5 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 5$没有公共点，则点$P(m,n)$与椭圆$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{5} = 1$的位置关系是（A）
A.点在椭圆内
B.点在椭圆外
C.点在椭圆上
D.点不确定

答案： A 因为直线$mx+ny-5=0$与圆$x^2+y^2=5$没有公共点，所以$\frac{5}{\sqrt{m^2+n^2}}＞\sqrt{5}$，即$m^2+n^2＜5$，所以$m^2＜5$，$n^2＜5$．所以$\frac{m^2}{7}+\frac{n^2}{5}＜\frac{5-n^2}{7}+\frac{n^2}{5}=\frac{25+2n^2}{35}＜1$，所以点$P(m,n)$在椭圆内部.故选A.

对点练4. 若点$P(0,1)$在焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$的内部，则实数$m$的取值范围是$(1,5)$.

答案： $(1,5)$ 由题意知$\frac{0^2}{5}+\frac{1^2}{m}＜1$，所以$m＞1$，又椭圆的焦点在$x$轴上，所以$0＜m＜5$，故$m$的取值范围是$(1,5)$．