《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 1
如图，在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ \angle ACB = 90° $，$ |AC| = |BC| = |CC_1| = 2 $.

(1) 求证：$ AB_1 \perp BC_1 $；
(2) 求点 $ B $ 到平面 $ AB_1C_1 $ 的距离.

答案：

(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA,CB,CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
依题意得A(2,0,0),B(0,2,0),B₁(0,2,2),C₁(0,0,2).所以AB₁=(-2,2,2),BC₁=(0,-2,2).
因为AB₁·BC₁=(-2,2,2)·(0,-2,2)=0，
所以AB₁⊥BC₁.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)由
(1)知AC₁=(-2,0,2),AB₁=(-2,2,2).
设n₁=(x₁,y₁,z₁)是平面AB₁C₁的法向量，
由$\begin{cases} n₁·AB₁ = 0, \\ n₁·AC₁ = 0. \end{cases}$得$\begin{cases} -x₁ + y₁ + z₁ = 0, \\ -x₁ + z₁ = 0. \end{cases}$所以$\begin{cases} y₁ = 0, \\x₁ = z₁, \end{cases}$
令z₁ = 1，则n₁=(1,0,1)，因为AB=(-2,2,0)，
所以点B到平面AB₁C₁的距离为$d=\frac{\vert AB·n₁\vert}{\vert n₁\vert}=\frac{\vert -2\vert}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}=\sqrt{2}.$

如图，已知四边形 $ ABCD $ 是直角梯形，$ AD // BC $，$ \angle ABC = 90° $，$ SA \perp $ 平面 $ ABCD $，$ SA = AB = BC = 1 $，$ AD = \frac{1}{2} $，试建立适当的坐标系，求：
(1) 平面 $ ABCD $ 的一个法向量；
(2) 平面 $ SAB $ 的一个法向量；
(3) 平面 $ SCD $ 的一个法向量.

答案：

(1)以点A为原点，AD,AB,AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则$A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(\frac{1}{2},0,0),$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 S(0,0,1).
因为SA⊥平面ABCD，
所以AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)因为AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,AB,SA⊂平面SAB，
所以AD⊥平面SAB，所以$AD=(\frac{1}{2},0,0)$是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中，$DC=(\frac{1}{2},1,0),SC=(1,1,-1).$
设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥DC,n⊥SC，所以$\begin{cases} n·DC = 0, \\ n·SC = 0. \end{cases}$所以$\begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 0, \\ x + y - z = 0. \end{cases}$
所以$\begin{cases} x = -2y, \\ z = -y. \end{cases}$取y = -1，得x = 2,z = 1，所以n=(2,-1,1).
所以n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.

典例 2
如图，在正四棱锥 $ P - ABCD $ 中，$ PA = AB = 2\sqrt{2} $，点 $ E $，$ F $ 分别为 $ PB $，$ PD $ 的中点. 若平面 $ AEF $ 与棱 $ PC $ 交于点 $ G $，求平面 $ AEGF $ 与平面 $ ABCD $ 的夹角的余弦值.

答案：
如图所示，连接AC,BD交于点O，连接OP，则OA,OB,OP两两互相垂直.
所以以点O为原点，OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
因为$PA=AB=2\sqrt{2}，$由勾股定理易知$OA=OB =OP=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2.$
从而可得有关点的坐标分别为A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,-1,1).
所以AE=(-2,1,1),AF=(-2,-1,1).
设平面AEGF的法向量为n=(x,y,z)，
则$\begin{cases} n·AE = 0, \\ n·AF = 0. \end{cases}$即$\begin{cases} -2x + y + z = 0, \\ -2x - y + z = 0. \end{cases}$所以$\begin{cases} y = 0, \\ z = 2x, \end{cases}$
可取x = 1，解得y = 0,z = 2，
　　　　　　　　　　　　　　　　　
从而得到平面AEGF的一个法向量为n=(1,0,2).
平面ABCD的法向量显然可取为m=(0,0,1)，
从而$cos⟨m,n⟩=\frac{m·n}{\vert m\vert\vert n\vert}=\frac{2}{1×\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
所以平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}.$