《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 二项式定理
$(a + b)^n =$$C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b+·s + C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}+·s + C_{n}^{n}b^{n}$，可以简写成$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$。这个公式称为二项式定理。
2. 相关概念
（1）等号右边的式子称为$(a + b)^n$的二项展开式，展开式共有$n+1$项。
（2）各项系数$C_{n}^{k}(k = 0, 1, 2, ·s, n)$称为二项式系数。
（3）展开式中的$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$称为二项式通项，记作$T_{k + 1}$，它表示展开式的第$(k+1)$项。
（4）在二项式定理中，如果设$a = 1$，$b = x$，则得到公式$(1 + x)^n =$$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+·s + C_{n}^{k}x^{k}+·s + C_{n}^{n}x^{n}$。
[微提醒] （1）每一项中$a$与$b$的指数和为$n$。（2）各项中$a$的指数从$n$起依次减小1，到0为止，各项中$b$的指数从0起依次增加1，到$n$为止。（3）$a$与$b$的位置若交换，展开式形式变化。（4）$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$表示的是第$(k + 1)$项。（5）二项式定理中只有$a$，$b$两项。若有多项，可合并化为两项后再解决问题。

答案： 1.$C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b+·s + C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}+·s + C_{n}^{n}b^{n}$ 2.
(1)$n+1$
(3)$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$ $T_{k + 1}$ $(k+1)$
(4)$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+·s + C_{n}^{k}x^{k}+·s + C_{n}^{n}x^{n}$

典例1 (链教材P176例1 - 例3)
(1)求$(3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^4$的展开式。
(2)化简：$(x - 1)^5 + 5(x - 1)^4 + 10(x - 1)^3 + 10(x - 1)^2 + 5(x - 1)$。

答案：
(1)$\frac{1}{x^{2}}+\frac{12}{x}+54 + 108x+81x^{2}$；
(2)$x^{5}-1$

（1）$(2x - \frac{1}{x^2})^5$的二项展开式是 。
（2）计算$3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + 27C_{n}^{3} + ·s + 3^nC_{n}^{n} =$ 。

答案： （1）$32x^{5}-80x^{2}+\frac{80}{x}-\frac{40}{x^{4}}+\frac{10}{x^{7}}-\frac{1}{x^{10}}$；（2）$4^{n}-1$

典例2 (链教材P176例4)在二项式$(x - \frac{1}{x})^9$的展开式中，求：
(1)第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)$x^3$的系数。

答案：
(1)第6项的二项式系数为$126$，第6项的系数为$-126$；
(2)$-84$

（1）$(2x - y)^4$的展开式中$x^3y$的系数为（A）
A.-32
B.32
C.8
D.-8
（2）在$(\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt[3]{x}})^6$的展开式中，含$x^{-2}$的项的二项式系数为 。

答案： （1）A；（2）1