《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

[微思考] 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

答案： [微思考] 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的.

典例 1 求图中各直线的倾斜角：

答案：
典例1 解：
(1)如图①,可知∠OAB为直线l₁的倾斜角.易知∠ABO=$\frac{π}{6}$，所以∠OAB=$\frac{π}{3}$，即直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{3}$.
　　　　　 　　 　
(2)如图②，可知∠xAB为直线l₂的倾斜角，易知∠OBA=$\frac{π}{4}$，所以∠OAB=$\frac{π}{4}$，所以∠xAB=$\frac{3π}{4}$，即直线l₂的倾斜角为$\frac{3π}{4}$.
(3)如图③，可知∠OAC为直线l₃的倾斜角，易知∠ABO=$\frac{π}{3}$，所以∠BAO=$\frac{π}{6}$，所以∠OAC=$\frac{5π}{6}$，即直线l₃的倾斜角为$\frac{5π}{6}$.

（1）若直线 $ l $ 经过第二、四象限，则直线 $ l $ 的倾斜角范围是（ ）

A.$ 0^{\circ} \leq \alpha ＜ 90^{\circ} $
B.$ 90^{\circ} \leq \alpha ＜ 180^{\circ} $
C.$ 90^{\circ} ＜ \alpha ＜ 180^{\circ} $
D.$ 0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 180^{\circ} $
（2）已知直线 $ l $ 向上的方向与 $ y $ 轴正向所成的角为 $ 30^{\circ} $，则直线 $ l $ 的倾斜角为____。

答案：
对点练1.
(1)C
(2)60°或120°
(1)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.故选C.
(2)有两种情况：如图①所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
　　　　　　　　　　　　　　　　 　
如图②所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

问题 3. 日常生活中，常用坡度 $ \left( 坡度 = \frac{升高量}{水平前进量} \right) $ 表示倾斜程度，例如，“进 $ 2 $ 升 $ 3 $”与“进 $ 2 $ 升 $ 2 $”比较，前者更陡一些，因为坡度 $ \frac{3}{2} ＞ \frac{2}{2} $。在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？

答案： 问题3.结合“坡度”的计算方法可以利用倾斜角的正切值来刻画直线的倾斜程度.

问题 4. (1)直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 和它的倾斜角 $ \alpha $ 的取值范围分别是什么？
(2)如图，$ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $ 是倾斜角为 $ \alpha $ 的直线 $ l $ 上的两点，则该直线的斜率 $ k $ 与倾斜角有什么关系？

答案：
问题4.
(1)k∈(-∞,+∞),α∈0,π).
(2)过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，如图，则△ABC是直角三角形，故有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$tan α= \frac{BC}{AC}，$而BC=y₂ - y₁，AC=x₂ - x₁，所以$tan α= \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}，$即k=tan α.

问题 5. 当直线的倾斜角由 $ 0 $ 逐渐增大到 $ \pi $，其斜率如何变化？为什么？

答案：
问题5.如图所示，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.当$α= \frac{π}{2}$时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1. 直线的斜率
（1）称 $ k = $$\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}$（其中 $ x_1 \neq x_2 $）为经过不同两点 $ P_1(x_1, y_1) $，$ P_2(x_2, y_2) $ 的直线 $ l $ 的斜率。
（2）若直线 $ l $ 垂直于 $ x $ 轴，则它的斜率不存在；若直线 $ l $ 不与 $ x $ 轴垂直，则它的斜率存在且唯一。因此我们常用斜率表示直线的倾斜程度。

答案： 新知构建$ 1.(1)\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁} (2)$不存在 存在且唯一
倾斜程度

2. 直线的斜率与倾斜角的关系
（1）倾斜角不是 $ \frac{\pi}{2} $ 的直线，它的斜率 $ k $ 和它的倾斜角 $ \alpha $ 满足 $ k = $tan α$ \left( 其中 \alpha \neq \frac{\pi}{2} \right) $。
（2）从函数角度看，$ k $ 是 $ \alpha $ 的函数，其中 $ k = \tan \alpha \left( 其中 \alpha \neq \frac{\pi}{2} \right) $，图象如图所示。

① 当 $ \alpha \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right) $ 时，斜率 $ k \geq 0 $，且 $ k $ 随倾斜角 $ \alpha $ 的增大而增大；
② 当 $ \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) $ 时，斜率 $ k ＜ 0 $，且 $ k $ 随倾斜角 $ \alpha $ 的增大而增大；
③ 当 $ \alpha = \frac{\pi}{2} $ 时，直线 $ l $ 与 $ x $ 轴垂直，此时直线 $ l $ 的斜率不存在。
[微提醒] $ k $ 的大小与两点 $ P_1 $，$ P_2 $ 的位置无关。

答案： 2.
(1)tan α
(2)①增大 ②增大 ③不存在