《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 3（一题多解）求证：无论 $ k $ 取何值时，直线 $ l:(k + 1)x - (k - 1)y - 2k = 0 $ 必过定点，并求出该定点坐标.

答案： 典例3 证明：法一：令$k = 1$，得到直线$l_1$：$x = 1$，令$k = 0$，得到直线$l_2$：$x + y = 0$，由$\begin{cases}x = 1\\x + y = 0\end{cases}$，得$l_1$与$l_2$交点$M(1, - 1)$，把$M(1, - 1)$的坐标代入方程$(k + 1)x - (k - 1)y - 2k = 0$恒成立，所以无论$k$取何值时，直线$(k + 1)x - (k - 1)y - 2k = 0$必过定点，且定点为$M(1, - 1)$.法二：由已知直线$l$的方程得$(k + 1)x = (k - 1)y + 2k$，整理可得$y + 1 = \frac{k + 1}{k - 1}(x - 1)(k\neq1)$，因此当$k\neq1$时，直线$l$必过定点$M(1, - 1)$；当$k = 1$时，原直线$l$的方程为$x = 1$，也过点$M(1, - 1)$.综上所述，不论$k$取何值时，直线$l$必过定点$M(1, - 1)$.法三：方程$(k + 1)x - (k - 1)y - 2k = 0$可化为$k(x - y - 2) + (x + y) = 0$，由$\begin{cases}x - y - 2 = 0\\x + y = 0\end{cases}$，可得$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\end{cases}$，显然$\begin{cases}x = 1\\y = - 1\end{cases}$使方程$(k + 1)x - (k - 1)y - 2k = 0$恒成立，所以无论$k$取何值时，直线$l$必过定点$M(1, - 1)$.

对点练 3 求证：无论 $ m $ 取何实数，直线 $ (m - 1)x + (2m - 1)y = m - 5 $ 都恒过一个定点.

答案： 对点练3.证明：把原方程写成$(x + 2y - 1)m - (x + y - 5) = 0$，则必有$\begin{cases}x + 2y - 1 = 0\\x + y - 5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 9\\y = - 4\end{cases}$，所以$m$为任何实数时，此直线恒过定点$P(9, - 4)$.

典例 4（链教材 P20 例 20）已知 $ A(1,4) $，$ B(-2,-1) $，$ C(4,1) $ 是 $ \triangle ABC $ 的三个顶点，求证：$ \triangle ABC $ 的三条高所在的直线交于一点.

答案： 典例4 证明：$k_{AB}=\frac{4 - (-1)}{1 - (-2)}=\frac{5}{3}$，$k_{BC}=\frac{1 - (-1)}{4 - (-2)}=\frac{1}{3}$，则$AB$，$BC$边上的高所在直线的斜率分别为$-\frac{3}{5}$，$-3$，则$AB$，$BC$边上的高所在直线的方程分别为$y - 1 = -\frac{3}{5}(x - 4)$，$y - 4 = - 3(x - 1)$，由$\begin{cases}y - 1 = -\frac{3}{5}(x - 4)\\y - 4 = - 3(x - 1)\end{cases}$，得$\begin{cases}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{cases}$，则$AB$，$BC$边上的高所在直线的的交点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$，又$k_{AC}=\frac{1 - 4}{4 - 1} = - 1$，则$AC$边上的高所在的直线的斜率为$1$，则$AC$边上的高所在的直线方程为$y + 1 = x + 2$，即$y = x + 1$，因为点$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$满足方程$y = x + 1$，故$\triangle ABC$的三条高所在的直线交于一点.

对点练 4 已知 $ m $ 为实数，设直线 $ l_1 $ 的方程为 $ 2x + my = 1 $，直线 $ l_2 $ 的方程为 $ mx + 8y = m - 2 $. 当 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相交时，用 $ m $ 表示交点 $ A $ 的坐标，并证明点 $ A $ 一定在某一条定直线上.

答案： 对点练4.解：因为$l_1$与$l_2$相交，所以$m^2 - 16\neq0$，$m\neq\pm4$，联立$\begin{cases}2x + my = 1\\mx + 8y = m - 2\end{cases}$，解得$x = \frac{m + 2}{m + 4}$，$y = \frac{ - 1}{m + 4}$，所以点$A(\frac{m + 2}{m + 4}, - \frac{1}{m + 4})$证明如下：因为$x = \frac{m + 2}{m + 4} = \frac{(m + 4) - 2}{m + 4} = 1 - \frac{2}{m + 4} = 1 + 2y$，即$x - 2y - 1 = 0(y\neq0)$.因此，点$A$一定在直线$x - 2y - 1 = 0(y\neq0)$上.