《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 3. 如何计算从 $n$ 个不同的元素中取出 $m(m,n \in \mathbf{N}_{+},m \leq n)$ 个元素的排列数 $A_{n}^{m}$？

答案： 问题3.我们把从$n$个不同元素中取出$m(m\leq n$,且$m,n\in \mathbf{N}_{+})$个元素的排列,看成从$n$个不同的球中取出$m$个球,放入排好的$m$个盒子中,每个盒子里放一个球,我们根据分步乘法计数原理排列这些球:
第1步,从全体$n$个球中任选一个放入第1个盒子,有$n$种方法;
第2步,从剩下的$(n - 1)$个球中任选一个放入第2个盒子,有$(n - 1)$种方法;
第3步,从剩下的$(n - 2)$个球中任选一个放入第3个盒子,有$(n - 2)$种方法;
……
第$m$步,从剩下的$[n - (m - 1)]$个球中任选一个放入第$m$个盒子,有$[n - (m - 1)]$种方法,如表所示.
盒子 1 2 3 … $m$
方法数 $n$ $n - 1$ $n - 2$ … $n - (m - 1)$
因此,根据分步乘法计数原理,从$n$个不同的球中取出$m$个球的排列,共有$n(n - 1)(n - 2)· ·s · [n - (m - 1)]$种方法.

排列数公式
(1) $A_{n}^{m} = $$n(n - 1)(n - 2)· ·s · [n - (m - 1)]$.
(2) $A_{n}^{n} = $$n!$（读作 $n$ 的阶乘）；规定：$A_{n}^{0} = $_________；$0! = $_________.
(3) $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}$.
[微提醒] (1) 乘积是 $m$ 个连续正整数的乘积. (2) 第一个数最大，是 $A$ 的下标 $n$. (3) 第 $m$ 个数最小，是 $n - (m - 1)$.

答案：
(1)$n(n - 1)(n - 2)· ·s · [n - (m - 1)]$
(2)$n!$
(3)$\frac {n!}{11}$

典例 2
（链教材 P167 例 2）(1) $(x - 2)(x - 3)(x - 4)·s(x - 16)(x \in \mathbf{N}_{+},x ＞ 16)$ 可表示为（B）
A. $A_{x - 2}^{14}$
B. $A_{x - 2}^{15}$
C. $A_{x - 16}^{14}$
D. $A_{x - 16}^{15}$
(2) 计算 $A_{8}^{8} - 8A_{7}^{7} + 7A_{6}^{6} = $5040；
(3) 计算 $\frac{A_{9}^{5} + A_{9}^{4}}{A_{10}^{6} - A_{10}^{5}} = $$\frac {3}{20}$.

答案：
(1)B
(2)5040
(3)$\frac {3}{20}$
(1)因为$(x - 2) - (x - 16) + 1 = 15$,$x\in \mathbf{N}_{+}$且$x＞16$,所以$A_{x - 2}^{15 - 2} = (x - 2)(x - 3)(x - 4)·s(x - 16)$.故选B.
(2)$8! - 8× 7! + 7× 6! = 8! - 8! + 7! = 5040$.
(3)$\frac {A_{6}^{5} + A_{5}^{4}}{A_{10}^{6} - A_{10}^{5}} = \frac {5A_{6}^{5} + A_{5}^{5}}{6· A_{10}^{5}} = \frac {6· A_{5}^{4}}{4× 10× A_{9}^{4}} = \frac {3}{20}$.

(1) 计算 $A_{10}^{3}$.
(2) 用排列数表示 $(55 - n)(56 - n)·s(69 - n)(n \in \mathbf{N}_{+}$ 且 $n ＜ 55)$.

答案：
(1)$A_{10}^{3} = 10× 9× 8 = 720$.
(2)因为$55 - n,56 - n,·s,69 - n$中的最大数为$69 - n$,且共有$(69 - n) - (55 - n) + 1 = 15$(个)数,所以$(55 - n)(56 - n)·s(69 - n) = A_{69 - n}^{15}$.

典例 3
(链教材 P165 例 1)(1) 四个人 $A$，$B$，$C$，$D$ 坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来.
(2) 从 3，5，7，8 中任意选两个分别作为对数的底数与真数，能构成多少个不同的对数值？
变式探究
(变条件)若将本例第(2)小题中的“3，5，7，8”改为“2，3，4，9”，能构成多少个不同的对数值？

答案：

(1)先安排A有4种坐法,安排B有3种坐法,安排C有2种坐法,安排D有1种坐法,由分步乘法计数原理,有$4× 3× 2× 1 = 24$(种).画出树形图.
　　　　　
(2)选出的任意两个数分别作为对数的底数与真数时,构成的对数值是不一样的,因此是一个有序问题,应用排列去解.故能构成$A_{4}^{2} = 4× 3 = 12$(个)不同的对数值.
[变式探究]
解：由于$\log_{2}3 = \log_{4}9,\log_{3}2 = \log_{9}4,\log_{2}4 = \log_{3}9,\log_{4}2 = \log_{9}3$,故能构成$A_{4}^{2} - 4 = 4× 3 - 4 = 8$(个)不同的对数值.