《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 2 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是 $\frac{4}{15}$，刮风的概率为 $\frac{2}{15}$，既刮风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$。则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为(D)
A.$\frac{8}{225}$
B.$\frac{1}{10}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 典例2 D 设事件A为当天下雨,事件B为当天刮风,则$P(A)=\frac{4}{15}$,$P(B)=\frac{2}{15}$,$P(AB)=\frac{1}{10}$,则已知刮风的条件下,也下雨的概率$P(A|B)$=$\frac{P(AB)}{P(B)}$=$\frac{3}{4}$.故选D.

(1) 下列是条件概率的是（B）
A.甲、乙二人投篮命中率分别为 $0.6$，$0.7$，各投篮一次都投中的概率
B.有 $10$ 件产品，其中 $3$ 件次品，依次不放回地抽取 $2$ 件产品进行检验，在抽到一件次品的情况下，第 $2$ 次抽到次品的概率
C.有 $10$ 件产品，其中 $3$ 件次品，抽 $2$ 件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 $\frac{2}{5}$，则小明在一次上学中遇到红灯的概率

答案：
(1)B

(2) 已知某种动物由出生算起活到 $60$ 岁的概率是 $0.8$，活到 $65$ 岁的概率是 $0.6$，则一头 $60$ 岁的该种动物活到 $65$ 岁的概率是$\frac{3}{4}$。

答案：
(2)$\frac{3}{4}$

典例 3 （链教材 P185 例 1）现有 $6$ 个节目准备参加比赛，其中 $4$ 个舞蹈节目，$2$ 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 $2$ 个节目，求：
(1) 第 $1$ 次抽到舞蹈节目的概率；
(2) 第 $1$ 次和第 $2$ 次都抽到舞蹈节目的概率；
(3) 在第 $1$ 次抽到舞蹈节目的条件下，第 $2$ 次抽到舞蹈节目的概率。

变式探究
（变设问）本例条件不变，试求在第 $1$ 次抽到舞蹈节目的条件下，第 $2$ 次抽到语言类节目的概率。

答案： 典例3 解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的样本点数$n(\Omega)$=$A_2^6$=30,由分步乘法计数原理,$n(A)=A_1^4A_1^5$=20,所以$P(A)$=$\frac{n(A)}{n(\Omega)}$=$\frac{20}{30}$=$\frac{2}{3}$.
(2)因为$n(AB)$=$A_2^2$=12,所以$P(AB)$=$\frac{n(AB)}{n(\Omega)}$=$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$.
(3)法一:由
(1)
(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率$P(B|A)$=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{5}$.法二:因为$n(AB)$=$A_2^2$=12,$n(A)$=20,所以$P(B|A)$=$\frac{n(AB)}{n(A)}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$.
[变式探究]解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到语言类节目”为事件C,则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC.法一:易知$P(A)$=$\frac{2}{3}$,$P(AC)$=$\frac{A_1^4A_1^3}{A_2^6}$=$\frac{8}{30}$=$\frac{4}{15}$,所以$P(C|A)$=$\frac{P(AC)}{P(A)}$=$\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{5}$.法二:因为$n(A)$=$A_1^4A_1^5$=20,$n(AC)$=$A_1^4A_1^3$=8,所以$P(C|A)$=$\frac{n(AC)}{n(A)}$=$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$.