《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

（1）动点 $ P(x,y) $ 在直线 $ x + y - 4 = 0 $ 上，$ O $ 为原点，求 $ |OP| $ 最小时点 $ P $ 的坐标；
（2）求过点 $ P(1,2) $ 且与原点距离最大的直线方程。

答案： （1）$(2,2)$；（2）$x + 2y - 5 = 0$

典例 4
已知两平行直线 $ l_1,l_2 $ 分别过 $ A(1,0) $，$ B(0,5) $。
（1）$ l_1,l_2 $ 之间的距离为 5，求两直线方程；
（2）若 $ l_1,l_2 $ 之间的距离为 $ d $，求 $ d $ 的取值范围。

答案： （1）$l_1:y = 0$，$l_2:y = 5$或$l_1:5x - 12y - 5 = 0$，$l_2:5x - 12y + 60 = 0$；（2）$d\in(0,\sqrt{26}$

两条互相平行的直线分别过 $ A(6,2) $ 和 $ B(-3,-1) $ 两点，如果两条平行直线间的距离为 $ d $，求：
（1）$ d $ 的取值范围；
（2）当 $ d $ 取最大值时，两条直线的方程。

答案： （1）$(0,3\sqrt{10}$；（2）$3x + y - 20 = 0$和$3x + y + 10 = 0$

1. (多选题)已知点 $ (a,1) $ 到直线 $ x - y + 1 = 0 $ 的距离为 1，则 $ a $ 的值可能为(CD)
A.1
B.-1
C.$ \sqrt{2} $
D.$ -\sqrt{2} $

答案： 1.CD

2. 两条直线 $ y = \frac{3}{2}x $，$ 6x - 4y + 13 = 0 $ 之间的距离为(C)
A.13
B.$ \sqrt{13} $
C.$ \frac{\sqrt{13}}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{13}}{4} $

答案： 2.C

3. 已知点 $ M(1,2) $，点 $ P(x,y) $ 在直线 $ 2x + y - 1 = 0 $ 上，则 $ |MP| $ 的最小值是(A)
A.$ \frac{3\sqrt{5}}{5} $
B.$ \sqrt{6} $
C.$ \sqrt{10} $
D.$ 3\sqrt{5} $

答案： 3.A

4. 直线 $ 3x - 4y - 27 = 0 $ 上到点 $ P(2,1) $ 距离最小的点的坐标是$(5,-3)$。

答案： 4.$(5,-3)$