《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 1
已知在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ \angle BAC = 90° $，$ AB = AC = AA_1 = 4 $，建立适当的空间直角坐标系，求向量 $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{BC_1} $ 的坐标.

答案：
典例1 解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i},\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{j},\frac{1}{4}\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{k}$，则$\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}=(4,0,0),\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AC}=0\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}=(0,4,4)$，
$\overrightarrow{BC_{1}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_{1}}=-4\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}=(-4,4,4)$.

如图，以长方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的顶点 $ D $ 为坐标原点，过 $ D $ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $ \overrightarrow{DB_1} $ 的坐标为 $ (4,3,2) $，则 $ C_1 $ 的坐标是（0,3,2）

A.$ (0,3,2) $
B.$ (0,4,2) $
C.$ (4,0,2) $
D.$ (2,3,4) $

答案： 对点练1.A 因为$\overrightarrow{DB_{1}}$的坐标为$(4,3,2),D$为坐标原点，所以$B_{1}$的坐标为$(4,3,2)$，所以$BC=4,DC=3,CC_{1}=2$，所以$C_{1}$的坐标为$(0,3,2)$.
故选A.

问题 2. 平面向量运算的坐标表示：设向量 $ \boldsymbol{a} = (x_1,y_1) $，$ \boldsymbol{b} = (x_2,y_2) $，则 $ \boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} = (x_1 \pm x_2,y_1 \pm y_2) $，$ \lambda\boldsymbol{a} = (\lambda x_1,\lambda y_1) (\lambda \in \mathbb{R}) $，$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2 $. 你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？

答案： 问题2.能表示.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.即设向量$\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，那么$\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=(x_{1}\pm x_{2},y_{1}\pm y_{2},z_{1}\pm z_{2})$，$\lambda\overrightarrow{a}=(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1})$，$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$.

1. 设点 $ A $ 的坐标为 $ (x_1,y_1,z_1) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (x_2,y_2,z_2) $，则 $ \overrightarrow{AB} = $$(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$. 即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
2. 空间向量的坐标运算
设向量 $ \boldsymbol{a} = (x_1,y_1,z_1) $，$ \boldsymbol{b} = (x_2,y_2,z_2) $，那么
$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$$(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})$$(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1})$$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

答案： 1.$(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})$ 终点 起点
2.$(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$ $(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2},z_{1}-z_{2})$ $(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1})$ $x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

典例 2
已知空间四点 $ A,B,C,D $ 的坐标分别是 $ (-1,2,1) $，$ (1,3,4) $，$ (0,-1,4) $，$ (2,-1,-2) $. 若 $ \boldsymbol{p} = \overrightarrow{AB} $，$ \boldsymbol{q} = \overrightarrow{CD} $，求下列各式的值：
(1) $ \boldsymbol{p} + 2\boldsymbol{q} $;
(2) $ 3\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q} $;
(3) $ (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{q}) · (\boldsymbol{p} + \boldsymbol{q}) $.

答案： 典例2 解：由于$A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2)$，
所以$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}=(2,1,3),\overrightarrow{q}=\overrightarrow{CD}=(2,0,-6)$.
(1)$\overrightarrow{p}+2\overrightarrow{q}=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(6,1,-9)$.
(2)$3\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15)$.
(3)$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q})·(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q})=\overrightarrow{p}^{2}-\overrightarrow{q}^{2}=|\overrightarrow{p}|^{2}-|\overrightarrow{q}|^{2}$
$=(2^{2}+1^{2}+3^{2})-[2^{2}+0^{2}+(-6)^{2}]=-26$.