《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 2. 如图，设点 $ P $ 是直线 $ l $ 外一点，$ \boldsymbol{l}_{0} $ 是直线 $ l $ 的单位方向向量，如何利用这些条件求点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离？

答案：
如图所示，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离。在Rt△PP'A中，|P'A|=|$\overrightarrow{PA}⋅l₀$|，于是，点P到直线l的距离为|PP'|$=\sqrt{|\overrightarrow{PA}|² - |P'A|²}=\sqrt{|\overrightarrow{PA}|² - |\overrightarrow{PA}⋅l₀|²}$

点到直线的距离：若点 $ P $ 是直线 $ l $ 外一点，$ \boldsymbol{l}_{0} $ 是直线 $ l $ 的单位方向向量，点 $ A $ 是直线 $ l $ 上任意一点，则点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ d = \sqrt{|\overrightarrow{PA}|^{2} - |\overrightarrow{PA} · \boldsymbol{l}_{0}|^{2}} $，$ \boldsymbol{l}_{0} = \frac{\boldsymbol{l}}{|\boldsymbol{l}|} $.

答案： （此题为概念理解题，无选择题选项，故无答案填写内容）

典例 2
如图，在空间直角坐标系中有长方体 $ ABCD - A'B'C'D' $，$ AB = 1 $，$ BC = 2 $，$ AA' = 3 $，求点 $ B $ 到直线 $ A'C $ 的距离.

答案： 因为AB = 1,BC = 2,AA' = 3，所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0)，所以直线A'C的方向向量A'C=(1,2,-3)。法一：$BC=(0,2,0),l₀=\frac{\overrightarrow{A'C}}{|\overrightarrow{A'C}|}=(\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}})，$则|BC|$² = 4,\overrightarrow{BC}⋅l₀=\frac{4}{\sqrt{14}}，$所以点B到直线A'C的距离为$\sqrt{|BC|² - |\overrightarrow{BC}⋅l₀|²}=\sqrt{4 - \frac{16}{14}}=\frac{2\sqrt{35}}{7}$法二：因为BC=(0,2,0)，所以BC在A'C上的投影长为$\frac{|\overrightarrow{BC}⋅\overrightarrow{A'C}|}{|\overrightarrow{A'C}|}=\frac{4}{\sqrt{14}}$所以点B到直线A'C的距离为$d=\sqrt{|BC|² - \left(\frac{|\overrightarrow{BC}⋅\overrightarrow{A'C}|}{|\overrightarrow{A'C}|}\right)^2}=\sqrt{4 - \frac{16}{14}}=\frac{2\sqrt{35}}{7}。$

如图，$ P $ 为矩形 $ ABCD $ 所在平面外一点，$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $，若已知 $ AB = 3 $，$ AD = 4 $，$ PA = 1 $，求点 $ P $ 到直线 $ BD $ 的距离.

答案：
如图所示，以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0)，所以PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0)，|BD|$ = 5,l₀=\frac{\overrightarrow{BD}}{|BD|}=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5},0)，$则|PB|$² = 10,\overrightarrow{PB}⋅l₀=-\frac{9}{5}，$所以点P到直线BD的距离为$\sqrt{|PB|² - |\overrightarrow{PB}⋅l₀|²}=\sqrt{10 - \frac{81}{25}}=\frac{13}{5}$

典例 3
如图，在棱长为 $ 1 $ 的正方体 $ ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ 中，$ E $ 为线段 $ DD_{1} $ 的中点，$ F $ 为线段 $ BB_{1} $ 的中点.
(1) 求直线 $ FC_{1} $ 到直线 $ AE $ 的距离；
(2) 求直线 $ FC_{1} $ 到平面 $ AB_{1}E $ 的距离.

答案：

(1)建立如图所示的空间直角坐标系。得$B₁(1,1,1),E(0,0,\frac{1}{2}),F(1,1,\frac{1}{2}),A(1,0,0),C₁(0,1,1)。$因为$FC₁=(-1,0,\frac{1}{2}),AE=(-1,0,\frac{1}{2})，$所以AE//FC₁，即AE//FC₁，所以点F到直线AE的距离即为直线FC₁到直线AE的距离。$l₀=\frac{\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{AE}|}=(-\frac{2\sqrt{5}}{5},0,\frac{\sqrt{5}}{5}),\overrightarrow{AF}=(0,1,\frac{1}{2})，$|AF|$²=\frac{5}{4},\overrightarrow{AF}⋅l₀=\frac{\sqrt{5}}{10}，$所以直线FC₁到直线AE的距离为$\sqrt{|AF|² - |\overrightarrow{AF}⋅l₀|²}=\sqrt{\frac{5}{4} - (\frac{\sqrt{5}}{10})²}=\frac{\sqrt{30}}{5}(2)$因为AE//FC₁,FC₁⊄平面AB₁E,AE⊂平面AB₁E，所以FC₁//平面AB₁E，所以直线FC₁到平面AB₁E的距离等于C₁到平面AB₁E的距离。$CB₁=(1,0,0),AB₁=(0,1,1),AE=(-1,0,\frac{1}{2})，$设平面AB₁E的一个法向量为n=(x,y,z)，则$\begin{cases} AE⋅n = 0, \\ AB₁⋅n = 0, \end{cases}$即$\begin{cases} -x + \frac{1}{2}z = 0, \\ y + z = 0, \end{cases}$取z = 2，可得n=(1,-2,2)，所以C₁到平面AB₁E的距离为|$\overrightarrow{CB₁}⋅\frac{n}{|n|}$|$=\frac{1}{\sqrt{1² + (-2)² + 2²}}=\frac{1}{3}$所以直线FC₁到平面AB₁E的距离为$\frac{1}{3}。$