《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的$F_1$，$F_2$两点，当绳长大于$F_1$和$F_2$的距离时，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？

答案： 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.

[微提醒] （1）椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
（2）定值必须大于两定点的距离.（3）当距离的和等于$|F_1F_2|$时，点的轨迹是线段.（4）当距离的和小于$|F_1F_2|$时，点的轨迹不存在.

答案： 之和等于常数(大于$\left|F_1F_2\right|$) 定点$F_1,F_2$ 距离$\left|F_1F_2\right|$ $\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|=2a$

典例1 （多选题）在平面上，动点$P$满足以下条件，其中$P$的轨迹为椭圆的是（BD）
A.$P$到两定点$(0,2)$，$(0,-2)$的距离之和为$4$
B.$P$到两定点$(0,2)$，$(0,-2)$的距离之和为$6$
C.$P$到两定点$(3,0)$，$(-3,0)$的距离之和为$6$
D.$P$到两定点$(3,0)$，$(-3,0)$的距离之和为$8$

答案： BD 因为两定点$(0,2),(0,-2)$的距离为$4＜6$，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点$(3,0),(-3,0)$的距离为$6＜8$，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义.故选BD.

对点练1. （1）设$P(x,y)$满足$\sqrt{x^2 + (y + 4)^2} + \sqrt{x^2 + (y - 4)^2} = 10$，则$P$点的轨迹为（B）
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.不存在

答案： （1）B
(1)因为$\sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}=10$表示$P(x,y)$到定点$F_1(0,-4),F_2(0,4)$的距离之和为$10$，即$\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|=10＞\left|F_1F_2\right|=8$，所以$P$点的轨迹为椭圆.故选B.

（2）若平面内一点$P$到两定点$F_1(-6,0)$，$F_2(6,0)$的距离之和等于$12$，则点$P$的轨迹是线段$F_1F_2$.

答案： （2）线段$F_1F_2$
(2)由题意知$\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|=12$，且$\left|F_1F_2\right|=12$，故$\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|=\left|F_1F_2\right|=12$，所以点$P$的轨迹是线段$F_1F_2$.