《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

任务五 数形结合法求倾斜角或斜率范围
典例 5 已知两点 $ A(-3, 4) $，$ B(3, 2) $，过点 $ P(1, 0) $ 的直线 $ l $ 与线段 $ AB $ 有公共点。求直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围。
听课笔记：
[变式探究]
1. （变条件）本例条件中“与线段 $ AB $ 有公共点”改为“与线段 $ AB $ 无公共点”。求直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围。
2. （变条件，变结论）本例条件改为点 $ (x, y) $ 在线段 $ AB $ 上，求 $ \frac{y}{x - 1} $ 的取值范围。

答案：
典例5 解：如图所示，由题意知$k_{PA}=\frac{4 - 0}{-3 - 1}= -1，$A(-3,4)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$k_{PB}=\frac{2 - 0}{3 - 1}=1.$
要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
[变式探究]
1.解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤ -1或k≥1.
则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(-1,1).
2.解：$\frac{y}{x - 1}$表示连接两点(x,y)和(1,0)的直线的斜率，与本例题解题过程一样.

对点练 5. 已知过点 $ (0, -2) $ 的直线 $ l $ 与以点 $ A(3, 1) $ 和 $ B(-2\sqrt{3}, 4) $ 为端点的线段 $ AB $ 相交，求直线 $ l $ 的斜率的取值范围。

答案：
对点练5.解：设点P(0,-2)，由题意作出图形，如图所示，
因为$k_{PA}=\frac{1 - (-2)}{3 - 0}=1，$$k_{PB}=\frac{4 - (-2)}{-2\sqrt{3} - 0}=-\sqrt{3}，$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
若要使直线l与线段AB相交，则$k_{l}≥k_{PA}$或$k_{l}≤k_{PB}，$
所以直线l的斜率的取值范围为$(-∞,-\sqrt{3}]∪[1,+∞).$

1. 下列图中，$ \alpha $ 能表示直线 $ l $ 的倾斜角的是(C)

A.①
B.①②
C.①③
D.②④

答案： C

2. 已知直线过点 $ A(0, 4) $ 和点 $ B(1, 2) $，则直线 $ AB $ 的斜率为(B)
A.$ 3 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $
D.不存在

答案： B

3. 已知经过 $ A(1 - a, 1 + a) $，$ B(3, 2a) $ 两点的直线 $ l $ 的方向向量为 $ (1, -2) $，则实数 $ a $ 的值为-1。

答案： -1

4. 已知直线 $ l $ 的倾斜角的范围是 $ \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right] $，则直线 $ l $ 的斜率的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)。

答案： (−∞,−1]∪[1,+∞)