《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) (多选题) 下列说法错误的是（BCD）
A.任意两个空间向量的模能比较大小
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等

答案：
(1)BCD 对于A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个空间向量的模可以比较大小；对于B，其终点构成一个球面；对于C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量；对于D，两个向量不相等，它们的模可以相等. 故选BCD.

(2) 如图，以长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，

① 试写出与$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量；
② 试写出$\overrightarrow{AA_1}$的相反向量；
③ 若$AB = AD = 2,AA_1 = 1$，求向量$\overrightarrow{AC_1}$的模.

答案：
(2)解：①与向量$\overrightarrow{AB}$相等的所有向量（除它自身之外）有$\overrightarrow{A_1B_1},\overrightarrow{DC}$及$\overrightarrow{D_1C_1}$共3个.
②向量$\overrightarrow{AA_1}$的相反向量为$\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{C_1C},\overrightarrow{D_1D}$.
③$\overrightarrow{AC_1}^2 = \overrightarrow{AC}^2 + \overrightarrow{CC_1}^2 = \overrightarrow{AB}^2 + \overrightarrow{BC}^2 + \overrightarrow{CC_1}^2 = 9$，故$|\overrightarrow{AC_1}| = |\overrightarrow{AC_1}| = 3$.

问题 2. 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？

答案： 问题2.共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.

2. 空间向量的减法运算
(1) 空间向量$a,b$的差：定义为$a + (-b)$，记作$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，其中$-b$是$b$的相反向量.
(2) 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.
(3) 图形：

$a + (-b) = a - b = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$.
[微提醒] (1) 求向量和时，可以首尾相接（若为封闭图形，则和为$\boldsymbol{0}$），也可共起点；求向量差时，需要共起点. (2) 三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.

答案： 2.
(1)$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$