《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知直线 $ l:x + y + 2 = 0 $ 与圆 $ C:x^2 + y^2 = 9 $ 相交于 $ A,B $ 两点。
(1)（一题多解）求线段 $ AB $ 的长；
(2) 求线段 $ AB $ 中点的坐标。

答案：
对点练3.解:
(1)法一:设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$\vert AB\vert^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$.
因为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$都是直线$x + y + 2 = 0$上的点，所以$\begin{cases}x_{1}+y_{1}+2 = 0,\\x_{2}+y_{2}+2 = 0,\end{cases}$
两式相减可得$x_{2}-x_{1}+y_{2}-y_{1}=0$，因此$y_{2}-y_{1}=-(x_{2}-x_{1})$，
从而$\vert AB\vert^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+[-(x_{2}-x_{1})]^{2}=2(x_{2}-x_{1})^{2}$.
由方程组$\begin{cases}x + y + 2 = 0,\\x^{2}+y^{2}=9,\end{cases}$消去$y$，整理得$2x^{2}+4x - 5 = 0$，而且$x_{1}$，$x_{2}$是这个方程的两个根.
因此由根与系数的关系可知$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-2,\\x_{1}x_{2}=-\frac{5}{2},\end{cases}$
所以$(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-4×(-\frac{5}{2})=14$，
因此$\vert AB\vert^{2}=2×14 = 28$，从而可知$\vert AB\vert=2\sqrt{7}$.
法二:如图所示，设$AB$的中点为$M$，根据垂径定理可知$OM\perp AB$，因此$\triangle AMO$是直角三角形.
由点到直线的距离公式可知$\vert OM\vert=\frac{\vert2\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$.
又$OA$是圆的半径，因此$\vert OA\vert=\sqrt{9}=3$，
从而在$Rt\triangle AMO$中，$\vert AM\vert=\sqrt{\vert OA\vert^{2}-\vert OM\vert^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}$.
因此$\vert AB\vert=2\vert AM\vert=2\sqrt{7}$.

(2)设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，且线段$AB$的中点坐标为$(x_{0},y_{0})$，则$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$.
由
(1)中的法一可知$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-1$，
又因为直线$l$的方程可以化为$y = -x - 2$，所以$y_{0}=-(-1)-2=-1$，
因此所求中点坐标为$(-1,-1)$.

典例 4
如图所示，某海面上有 $ O,A,B $ 三个小岛（面积大小忽略不计），$ A $ 岛在 $ O $ 岛的北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向距 $ O $ 岛 $ 40\sqrt{2} $ 千米处，$ B $ 岛在 $ O $ 岛的正东方向距 $ O $ 岛 $ 20 $ 千米处。以 $ O $ 为坐标原点，$ O $ 的正东方向为 $ x $ 轴的正方向，$ 1 $ 千米为单位长度，建立平面直角坐标系。圆 $ C $ 经过 $ O,A,B $ 三点。

(1) 求圆 $ C $ 的方程；
(2) 若圆 $ C $ 区域内有未知暗礁，现有一船 $ D $ 在 $ O $ 岛的南偏西 $ 30^{\circ} $ 方向距 $ O $ 岛 $ 40 $ 千米处，正沿着北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？

答案： 典例4 解:
(1)由题意，得$A(40,40)$，$B(20,0)$，设过$O$，$A$，$B$三点的圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，则$\begin{cases}F = 0,\\40^{2}+40^{2}+40D + 40E + F = 0,\\20^{2}+20D + F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D=-20,\\E=-60,\\F = 0,\end{cases}$所以圆$C$的方程为$x^{2}+y^{2}-20x - 60y = 0$.
(2)该船初始位置为点$D$，则$D(-20,-20\sqrt{3})$，
且该船航线所在直线$l$的斜率为$1$，
故该船航行方向为直线$l:x - y + 20 - 20\sqrt{3}=0$，
由
(1)得圆$C$的圆心为$C(10,30)$，半径$r = 10\sqrt{10}$，
由于圆心$C$到直线$l$的距离$d=\frac{\vert10 - 30 + 20 - 20\sqrt{3}\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=10\sqrt{6}＜10\sqrt{10}$，
故该船有触礁的危险.

一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西 $ 70 km $ 处，受影响的范围是半径为 $ 30 km $ 的圆形区域。已知港口位于台风中心正北 $ 40 km $ 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

答案：
对点练4.解:以台风中心为坐标原点，以东西方向为$x$轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取$10 km$为单位长度，
则受台风影响的圆形区域为圆$x^{2}+y^{2}=9$及其内部，港口所对应的点的坐标为$(0,4)$，轮船的初始位置所对应的点的坐标为$(7,0)$，则轮船航线所在直线$l$的方程为$\frac{x}{7}+\frac{y}{4}=1$，
即$4x + 7y - 28 = 0$.圆心$(0,0)$到直线$4x + 7y - 28 = 0$的距离$d=\frac{\vert-28\vert}{\sqrt{4^{2}+7^{2}}}=\frac{28}{\sqrt{65}}$，而半径$r = 3$，
因为$d＞r$，所以直线与圆相离，所以轮船不改变航线，不会受到台风的影响.