《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 已知空间中直线 $ l $ 的一个方向向量 $ a = (1, 2, 4) $，平面 $ \alpha $ 的一个法向量 $ n = (2, 4, 8) $，则（C）
A.直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 平行
B.直线 $ l $ 在平面 $ \alpha $ 内
C.直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 垂直
D.直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 不相交

答案： 1.C

2. 已知直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 垂直，直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ u = (1, -3, z) $，向量 $ v = (3, -2, 1) $ 与平面 $ \alpha $ 平行，则 $ z $ 等于（C）
A.3
B.6
C.-9
D.9

答案： 2.C

3. 如图，$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $，四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ E $ 是 $ CD $ 的中点，$ F $ 是 $ AD $ 上一点，当 $ BF \perp PE $ 时，$ AF : FD $ 的值为（B）

A.1 : 2
B.1 : 1
C.3 : 1
D.2 : 1

答案： 3.B

4. 已知直线 $ l $ 的方向向量为 $ (2, m, -1) $，平面 $ \alpha $ 的法向量为 $ (1, 1, 2) $，且 $ l $ 与 $ \alpha $ 相交，则 $ m $ 的取值范围是$m \neq 0$.

答案： 4.$m \neq 0$

问题 1. 同学们在分组讨论异面直线的夹角时，有同学认为异面直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 的夹角 $ \theta $ 就是其方向向量 $ \boldsymbol{u} $，$ \boldsymbol{v} $ 的夹角 $ \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle $；有同学认为异面直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 的夹角 $ \theta $ 与其方向向量 $ \boldsymbol{u} $，$ \boldsymbol{v} $ 的夹角 $ \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle $ 没有任何关系. 你认为谁的观点正确.

答案： 都不正确，异面直线的夹角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系.

若向量 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $ 分别为直线 $ a $，$ b $ 的方向向量，则直线 $ a $ 与 $ b $ 的夹角 $ \theta \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] $，且 $ \theta $ 与两个方向向量的夹角 $ \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle $相等或互补. 也就是说：
当 $ 0 \leq \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \leq \frac{\pi}{2} $ 时，$ \theta = $$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$；当 $ \frac{\pi}{2} ＜ \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \leq \pi $ 时，$ \theta = $$\pi - \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.
故 $ \cos \theta = $$|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle|$.

答案： 相等　互补　$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ $\pi - \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ $|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle|$

典例 1
（链教材 P130 例 8）如图，在直三棱柱 $ A_1B_1C_1 - ABC $ 中，$ AB \perp AC $，$ AB = AC = 2 $，$ A_1A = 4 $，点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点. 求异面直线 $ A_1B $ 与 $ C_1D $ 夹角的余弦值.

答案：
解:以点A为原点,AB,AC,AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A₁(0,0,4),C₁(0,2,4).

所以$\overrightarrow{A_{1}B} = (2,0,-4)$,$\overrightarrow{C_{1}D} = (1,-1,-4)$.
因为$|\cos\langle\overrightarrow{A_{1}B},\overrightarrow{C_{1}D}\rangle| = \frac{|\overrightarrow{A_{1}B} · \overrightarrow{C_{1}D}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}||\overrightarrow{C_{1}D}|} = \frac{18}{\sqrt{20} × \sqrt{18}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
所以异面直线A₁B与C₁D夹角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$