《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 3. 若直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？

答案： 问题3.不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交.

直线与抛物线的位置关系
设直线 $ l:y = kx + m $，抛物线 $ C:y^{2} = 2px(p ＞ 0) $，将直线方程与抛物线方程联立 $ \begin{cases}y = kx + m\\y^{2} = 2px\end{cases} $，消去 $ y $ 得到一个关于 $ x $ 的方程 $ k^{2}x^{2}+2(km - p)x + m^{2} = 0 $。
（1）若 $ k \neq 0 $ 时，
当 $ \Delta $＞0 时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当 $ \Delta $=0 时，直线与抛物线相切，有一个公共点；
当 $ \Delta $＜0 时，直线与抛物线相离，没有公共点。
（2）若 $ k = 0 $ 时，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合。
[微提醒] （1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。（2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况。

答案： 新知构建
(1)$＞$ $=$ $＜$
(2)一个

典例 2（链教材 P79 例 3）
当 $ k $ 为何值时，直线 $ y = kx + k - 2 $ 与抛物线 $ y^{2} = 4x $ 有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？

答案： 典例2 解：联立方程组$\begin{cases}y=kx+k-2,\\y^{2}=4x.\end{cases}$得$k^{2}x^{2}+2(k^{2}-2k-2)x+(k-2)^{2}=0$.
当$k=0$时，方程化为一次方程$-4x+4=0$，
该方程只有一解$x=1$，原方程组只有一组解，
所以直线$y=-2$与抛物线只有一个公共点.
当$k\neq0$时，二次方程的判别式$\Delta=4(k^{2}-2k-2)^{2}-4k^{2}(k-2)^{2}$
$=-16(k^{2}-2k-1)$，
当$\Delta＞0$时，得$k^{2}-2k-1＜0$，$1-\sqrt{2}＜k＜1+\sqrt{2}$，
所以当$1-\sqrt{2}＜k＜0$或$0＜k＜1+\sqrt{2}$时，直线与抛物线有两个公共点；
由$\Delta=0$得$k=1\pm\sqrt{2}$，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由$\Delta＜0$得$k＜1-\sqrt{2}$或$k＞1+\sqrt{2}$，此时直线与抛物线无公共点.
综上，当$k=0$或$k=1\pm\sqrt{2}$时，直线与抛物线有一个公共点；
当$1-\sqrt{2}＜k＜0$或$0＜k＜1+\sqrt{2}$时，直线与抛物线有两个公共点；
当$k＜1-\sqrt{2}$或$k＞1+\sqrt{2}$时，直线与抛物线无公共点.

已知直线 $ l $ 经过点 $ A(-\frac{3p}{2},p) $，且与抛物线 $ y^{2} = 2px(p ＞ 0) $ 只有一个公共点，求直线 $ l $ 的方程。

答案： 对点练2.解：若直线$l$的斜率不存在，则直线$l$与抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$没有交点，不符合题意.
若直线$l$的斜率存在，设直线$l$的方程为$y-p=k(x+\frac{3p}{2})$，
联立方程组$\begin{cases}y-p=k(x+\frac{3p}{2}),\\y^{2}=2px.\end{cases}$消去$x$并整理，得$ky^{2}-2py+(2+3k)p^{2}=0$，
①当$k\neq0$时，因为直线$l$与抛物线只有一个公共点，
所以$\Delta=4p^{2}-4k(2+3k)p^{2}=0$，解得$k=\frac{1}{3}$或$k=-1$.
故直线$l$的方程为$2x-6y+9p=0$或$2x+2y+p=0$.
②当$k=0$时，即直线$l$与$x$轴平行时，直线$l$与抛物线也只有一个公共点，此时$y=p$.
故满足条件的直线$l$有三条，它们的方程是$2x-6y+9p=0$或$2x+2y+p=0$或$y=p$.

问题 4. 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？

答案： 问题4.有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.

直线与双曲线的位置关系
设直线 $ l:y = kx + m $，双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $，将直线方程与双曲线方程联立 $ \begin{cases}y = kx + m\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases} $，消去 $ y $ 得到一个关于 $ x $ 的方程 $ a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1} = 0 $。
（1）若 $ a_{1} \neq 0 $ 时，
$ \Delta ＞ 0 $ 时，直线与双曲线有两个公共点；
$ \Delta = 0 $ 时，直线与双曲线只有一个公共点；
$ \Delta ＜ 0 $ 时，直线与双曲线没有公共点。
（2）若 $ a_{1} = 0 $ 时，直线与双曲线有一个公共点，此时直线平行于双曲线的渐近线。
[微提醒] 在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。

答案： 新知构建
(1)两个 一个 没有
(2)一个

典例 3（链教材 P80 例 4）
已知双曲线 $ x^{2}-y^{2} = 4 $，直线 $ l:y = k(x - 1) $，直线 $ l $ 与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数 $ k $ 的取值范围。

答案： 典例3 解：联立方程组$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=4,\\y=k(x-1).\end{cases}$
消去$y$，得$(1-k^{2})x^{2}+2k^{2}x-k^{2}-4=0$。(∗)
当$1-k^{2}\neq0$，即$k\neq\pm1$时，
$\Delta=(2k^{2})^{2}-4(1-k^{2})(-k^{2}-4)=4(4-3k^{2})$.
由$\begin{cases}4-3k^{2}＞0,\\1-k^{2}\neq0.\end{cases}$得$-\frac{2\sqrt{3}}{3}＜k＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且$k\neq\pm1$，
此时方程(∗)有两个不同的实数解，即直线$l$与双曲线有两个不同的公共点.