《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 类比椭圆和双曲线的几何性质的探索过程，你认为抛物线有哪些简单的几何性质？

答案： 范围、对称性、顶点及离心率等。

问题 2. 试以 $ y^{2}=2px(p＞0) $ 为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点. 如何研究这些性质？

答案：
（1）范围：由方程$y^{2}=2px(p＞0)$可知，对于抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$上的任意一点$M(x,y)$，都有$x\geq0,y\in R$，所以这条抛物线在$y$轴的右侧，开口向右；当$x$的值增大时，$|y|$也随之增大，这说明抛物线向右上方或右下方无限延伸。
（2）对称性：观察曲线，可以发现，抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$关于$x$轴对称。抛物线只有一条对称轴。

（3）顶点：抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是坐标原点$(0,0)$。

抛物线的简单几何性质

[微提醒] (1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. (2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 $ 2p $.

答案： $x$ $x$ $y$ $y$ $(0,0)$ $1$

典例 1 (链教材 P73 例 3)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 $ 9x^{2}+4y^{2}=36 $ 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.

答案： 解：椭圆的方程可化为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$，其短轴在$x$轴上，所以抛物线的对称轴为$x$轴，
则设抛物线的方程为$y^{2}=2px(p＞0)$或$y^{2}=-2px(p＞0)$。
因为抛物线的焦点到顶点的距离为$3$，即$\frac{p}{2}=3$，所以$p = 6$，
所以抛物线的标准方程为$y^{2}=12x$或$y^{2}=-12x$，
相对应的准线方程分别为$x = - 3$，$x = 3$。

对点练 1. 边长为 1 的等边三角形 $ AOB $，$ O $ 为坐标原点，$ AB\perp x $ 轴，以 $ O $ 为顶点且过 $ A $，$ B $ 的抛物线方程是 （C）
A.$ y^{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}x $
B.$ y^{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}x $
C.$ y^{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{6}x $
D.$ y^{2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x $

答案： C