《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

变式探究
（变条件）若直线 $ l $ 与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数 $ k $ 的取值范围。

答案： [变式探究]
解：联立方程组$\begin{cases}x^{2}-y^{2}=4,\\y=k(x-1).\end{cases}$消去$y$，
得$(1-k^{2})x^{2}+2k^{2}x-k^{2}-4=0$。(∗)
当$1-k^{2}\neq0$，即$k\neq\pm1$时，
$\Delta=(2k^{2})^{2}-4(1-k^{2})(-k^{2}-4)=4(4-3k^{2})$.
由$\begin{cases}4-3k^{2}=0,\\1-k^{2}\neq0.\end{cases}$得$k=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时方程(∗)有两个相同的实数解，
即直线$l$与双曲线有且只有一个公共点；
当$1-k^{2}=0$，即$k=\pm1$时，直线$l$与双曲线的渐近线平行，
方程(∗)化为$2x=5$，
故方程(∗)只有一个实数解，即直线$l$与双曲线相交，且只有一个公共点.
故当$k=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\pm1$时，直线$l$与双曲线有且只有一个公共点.

已知双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $ 的渐近线方程为 $ y = \pm\sqrt{3}x $，且双曲线 $ C $ 过点 $ (-2,3) $。
（1）求双曲线 $ C $ 的方程；
（2）若直线 $ l:y = kx + 3 $ 与双曲线 $ C $ 只有一个公共点，求实数 $ k $ 的值。

答案： 对点练3.解：
(1)由题意知，$b=\sqrt{3}a$，
联立方程组$\begin{cases}b=\sqrt{3}a,\frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a^{2}=1,\\b^{2}=3.\end{cases}$
所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)联立方程组$\begin{cases}y=kx+3,\\x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1.\end{cases}$得$(3-k^{2})x^{2}-6kx-12=0$，
当$3-k^{2}\neq0$时，由$\Delta=36k^{2}+48(3-k^{2})=0$，
解得$k=\pm2\sqrt{3}$.
当$3-k^{2}=0$，即$k=\pm\sqrt{3}$时，直线$l$与双曲线$C$的渐近线$y=\pm\sqrt{3}x$平行，直线$l$与双曲线$C$只有一个公共点.
综上所述，$k=\pm2\sqrt{3}$或$k=\pm\sqrt{3}$.

1. 已知直线 $ l:x + y - 3 = 0 $，椭圆 $ \frac{x^{2}}{4}+y^{2} = 1 $，则直线与椭圆的位置关系是（A）
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切

答案： 1.A

2. 若直线 $ y = kx $ 与双曲线 $ 4x^{2}-y^{2} = 16 $ 相交，则实数 $ k $ 的取值范围为$(-2,2)$。

答案： 2.$(-2,2)$

3. 若直线 $ y = kx + 2 $ 与抛物线 $ y^{2} = 8x $ 有且只有一个公共点，则 $ k = $0或1。

答案： 3.$0$或$1$

4. 已知斜率为 $ 2 $ 的直线经过椭圆 $ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4} = 1 $ 的右焦点 $ F_{2} $ 与椭圆相交于 $ A,B $ 两点，则线段 $ AB $ 的中点 $ P $ 的坐标为$(\frac{5}{6},-\frac{1}{3})$。

答案： 4.$(\frac{5}{6},-\frac{1}{3})$