《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

[微思考] (1) 若$a // b,b // c$，那么一定有$a // c$吗？

答案： [微思考]
(1)不一定，若$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$，此时必有$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b},\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$成立，但$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$不一定平行（共线）.

(2) 在空间向量中，与非零向量$a$共线的单位向量有几个，分别是什么？

答案：
(2)有2个，分别是$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$与$-\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$.

典例 3（链教材 P101 例 1）如图，在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，设$\overrightarrow{AA_1} = a,\overrightarrow{AB} = b,\overrightarrow{AD} = c$，$M,N,P$分别是$AA_1,BC,C_1D_1$的中点，试用$a,b,c$表示以下各向量：

(1) $\overrightarrow{AP}$；(2) $\overrightarrow{A_1N}$；(3) $\overrightarrow{MP}$.

变式探究
1. (变设问) 本例的条件不变，试用$a,b,c$表示向量$\overrightarrow{PN}$.
2. (变条件) 本例的条件中“$P$是$C_1D_1$的中点”改为“$P$在线段$C_1D_1$上，且$\frac{C_1P}{PD_1} = \frac{1}{2}$”，其他条件不变，如何表示$\overrightarrow{AP}$？

答案： 典例3 解：
(1)因为P是$C_1D_1$的中点，所以$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{D_1P} = \boldsymbol{a} + \overrightarrow{AD_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{D_1C_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$.
(2)因为N是BC的中点，所以$\overrightarrow{A_1N} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = -\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.
(3)因为M是$AA_1$的中点，所以$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AP} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + (\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$.
[变式探究]1.解：因为P，N分别是$D_1C_1$，BC的中点，所以$\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PC_1} + \overrightarrow{C_1C} + \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AA_1}) + (-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}) = -\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.2.解：$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1P} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{c} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b}$.

对点练 3. 如图，已知四边形$ABCD$为正方形，$P$是四边形$ABCD$所在平面外一点，$P$在平面$ABCD$上的投影恰好是正方形的中心$O$，$Q$是$CD$的中点，求下列各题中$x,y$的值.

(1) $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{PQ} + x\overrightarrow{PC} + y\overrightarrow{PA}$；
(2) $\overrightarrow{PA} = x\overrightarrow{PO} + y\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PD}$.

答案： 对点练3.解：
(1)由题图可知，$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PO} = \overrightarrow{PQ} - \frac{1}{2}(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC}) = \overrightarrow{PQ} - \frac{1}{2}\overrightarrow{PC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{PA}$，则$x = y = -\frac{1}{2}$.
(2)因为$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PO}$，所以$\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{PO} - \overrightarrow{PC}$.
因为$\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PQ}$，所以$\overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PD}$，
所以$\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{PO} - (2\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PD}) = 2\overrightarrow{PO} - 2\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PD}$，
所以$x = 2,y = -2$.