《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练 2. 坛子里放着 $5$ 个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有 $3$ 个是绿皮的，$2$ 个是白皮的，如果不放回地依次拿出 $2$ 个鸭蛋。
(1) 求第 $1$ 次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2) 在第 $1$ 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第 $2$ 次拿出绿皮鸭蛋的概率。

答案： 对点练2.解:
(1)记“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A,易知$P(A)$=$\frac{3}{5}$,即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为$\frac{3}{5}$.
(2)记“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B,则可得$P(AB)$=$\frac{3}{5}×\frac{2}{4}$=$\frac{3}{10}$,由条件概率计算公式可得$P(B|A)$=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{1}{2}$;所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为$\frac{1}{2}$.

典例 4 （链教材 P186 例 2）在某次考试中，要从 $20$ 道题中随机抽出 $6$ 道题，若考生至少能答对其中 $4$ 道题即可通过，至少能答对其中 $5$ 道题就获得优秀。已知某考生能答对其中 $10$ 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率。

答案： 典例4 解:记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,可知$P(D)=P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$=$\frac{C_6^6}{C_{20}^6}$+$\frac{C_{10}^5C_{10}^1}{C_{20}^6}$+$\frac{C_{10}^4C_{10}^2}{C_{20}^6}$=$\frac{12180}{C_{20}^6}$,$P(AD)=P(A)$,$P(BD)=P(B)$,所以$P(E|D)=P[(A\cup B)|D]=P(A|D)+P(B|D)$=$P(A)$$P(D)$+$\frac{P(B)}{P(D)}$=$\frac{C_6^5}{C_{20}^6}$+$\frac{C_{10}^5C_{10}^1}{C_{20}^6}$=$\frac{13}{58}$.故该考生考试已经通过,则他获得优秀成绩的概率为$\frac{13}{58}$.

对点练 3. 在一个袋子中装有 $10$ 个球，设有 $1$ 个红球，$2$ 个黄球，$3$ 个黑球，$4$ 个白球，从中依次摸 $2$ 个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率。

答案： 对点练3.解:设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事件C,则$P(A)$=$\frac{1}{10}$,$P(AB)$=$\frac{1×2}{10×9}$=$\frac{1}{45}$,$P(AC)$=$\frac{1×3}{10×9}$=$\frac{1}{30}$,$P(B|A)$=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{45}}{\frac{1}{10}}$=$\frac{2}{9}$,$P(C|A)$=$\frac{P(AC)}{P(A)}$=$\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{10}}$=$\frac{1}{3}$,所以$P[(B\cup C)|A]=P(B|A)+P(C|A)$=$\frac{2}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{9}$.