《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例 5 已知四边形 $ ABCD $ 的顶点 $ B(6, -1) $，$ C(5, 2) $，$ D(1, 2) $。若四边形 $ ABCD $ 为直角梯形，求 $ A $ 点坐标。

答案：
典例5 解：若$\angle A = \angle D = 90°$，如图①所示，由已知$AB // DC$，$AD \perp AB$，
而$k_{CD} = 0$，故$A(1,-1)$.
若$\angle A = \angle B = 90°$，如图②所示.

设$A(a,b)$，则$k_{BC} = -3$，$k_{AD} = \frac{b - 2}{a - 1}$，$k_{AB} = \frac{b + 1}{a - 6}$.
由$AD // BC \Rightarrow k_{AD} = k_{BC}$，即$\frac{b - 2}{a - 1} = -3$. ①
由$AB \perp BC \Rightarrow k_{AB} · k_{BC} = -1$，
即$\frac{b + 1}{a - 6} · (-3) = -1$. ②
解①②，得$a = \frac{12}{5}$，$b = -\frac{11}{5}$.
综上所述，$A$点坐标为$(1,-1)$或$(\frac{12}{5},-\frac{11}{5})$.

对点练 5. 已知矩形 $ ABCD $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(0, 1) $，$ B(1, 0) $，$ C(3, 2) $，求第四个顶点 $ D $ 的坐标。

答案： 对点练5.解：设第四个顶点$D$的坐标为$(x,y)$，
因为$AD \perp CD$，$AD // BC$，所以$k_{AD} · k_{CD} = -1$，且$k_{AD} = k_{BC}$.
所以$\begin{cases} \frac{y - 1}{x - 0} · \frac{y - 2}{x - 3} = -1, \\ \frac{y - 1}{x - 0} = \frac{2 - 0}{3 - 1}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases}$
所以第四个顶点$D$的坐标为$(2,3)$.

1. 过点 $ (1, 2) $ 和点 $ (-3, 2) $ 的直线与 $ x $ 轴的位置关系是（B）
A.相交但不垂直
B.平行
C.重合
D.垂直

答案： 1.$B$

2. 过点 $ (-1, 2) $ 且与直线 $ 2x - 3y + 4 = 0 $ 垂直的直线方程为（B）
A.$ 3x + 2y + 7 = 0 $
B.$ 3x + 2y - 1 = 0 $
C.$ 2x - 3y + 5 = 0 $
D.$ 2x - 3y + 8 = 0 $

答案： 2.$B$

3. 已知直线 $ l_1: x + 2ay - 1 = 0 $ 与直线 $ l_2: (2a - 1)x - ay - 1 = 0 $ 互相平行，则实数 $ a $ 的值为（C）
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ 0 $ 或 $ \frac{1}{4} $
D.$ 0 $ 或 $ \frac{1}{2} $

答案： 3.$C$

4. 已知 $ A(-4, 3) $，$ B(2, 5) $，$ C(6, 3) $，$ D(-3, 0) $ 四点，若顺次连接 $ ABCD $ 四点，则图形 $ ABCD $ 的形状为直角梯形。

答案： 4.直角梯形