《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练 1.（多选题）以下四个问题，属于组合问题的是（BC）
A.从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列
B.从 1，2，3，…，9 中任取出两个数求积
C.在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星
D.从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

答案： 对点练1.BC 从1,2,3,…,9中任取两个数求积，因为乘法满足交换律，与顺序无关，是组合问题；从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A、D均与顺序有关.故选BC.

问题 3. 我们知道 $ A^3_4 $ 表示从 4 个不同元素中选 3 个元素的排列数，不用列举法，怎么求从 4 个不同元素中选 3 个元素的组合数呢？

答案： 问题3.可设从4个不同元素中选3个元素的组合数为x，则$xA_3^3=A_4^3，$即
$x=\frac{A_4^3}{A_3^3}.$

组合数、组合数公式

[微提醒] （1）$ m \leq n $，$ m,n \in \mathbf{N}_{+} $.
（2）$ C^m_n = \frac{A^m_n}{A^m_m} = \frac{n(n - 1)(n - 2) · ·s · [n - (m - 1)]}{m(m - 1)(m - 2) · ·s · 2 · 1} $ 常用于计算.
（3）$ C^m_n = \frac{n!}{m! (n - m)!} $ 常用于证明.
新知构建 组合的个数$ C_n^m=\frac{n(n-1)(n-2)··s·[n-(m-1)]}{m(m-1)(m-2)··s·2·1}$

答案： 新知构建 组合的个数$ C_n^m=\frac{n(n-1)(n-2)··s·[n-(m-1)]}{m(m-1)(m-2)··s·2·1}$

典例 2 （链教材 P172 例 1）（1）求值：$ 3C^3_8 - 2C^2_5 $；
（2）求值：$ C^{38 - n}_{3n} + C^{3n}_{21 + n} $；
（3）证明：$ C^m_n = \frac{n}{n - m}C^{m - 1}_{n - 1} $.

答案： 典例2 解：$(1)3C_8^3-2C_5^2=3×\frac{8×7×6}{3×2×1}-2×\frac{5×4}{2×1}=148.$
(2)因为$\begin{cases}38-n\leq3n,\\3n\leq21+n,\end{cases}$所以$9.5\leq n\leq10.5.$
因为$n\in N_+，$所以n=10，
所以$C_{3n}^{38-n}+C_{21+n}^{2n}=C_{30}^{28}+C_{31}^{30}=\frac{30!}{28!2!}+\frac{31!}{30!}=466.$
(3)证明：右边$=\frac{n}{n-m}C_{n-1}^{m-1}=\frac{n}{n-m}·\frac{(n-1)!}{m!(n-1-m)!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
=C_n^m=左边.
所以原式成立.

对点练 2.（1）计算：$ C^4_{10} - C^3_7 · A^3_3 $；
（2）证明：$ mC^m_n = nC^{m - 1}_{n - 1} $.

答案： 对点练2.解：
(1)原式$=C_{10}^4-A_3^3=\frac{10×9×8×7}{4×3×2×1}-7×6×5=210-210=0.$
(2)证明：$mC_n^m=m·\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n·(n-1)!}{(m-1)![(n-1)-(m-1)]!}=nC_{n-1}^{m-1}.$