《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

教材拓展 3 椭圆的第二、第三定义（源自于教材 P58 - B 组 T3、P84 - 阅读材料一）
典例 5 （1）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，左、右准线方程分别为 $l_{1}:x=-\frac{a^{2}}{c}$，$l_{2}:x=\frac{a^{2}}{c}$。如图，由椭圆上的动点 $P(x_{0},y_{0})$ 向 $l_{1},l_{2}$ 分别作垂线，垂足分别为 $N_{1},N_{2}$。椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率 $e=\frac{\vert PF_{1}\vert}{\vert PN_{1}\vert}=\frac{\vert PF_{2}\vert}{\vert PN_{2}\vert}(a^{2}-b^{2}=c^{2},c＞0)$。请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式 $\vert PF_{1}\vert=a+ex_{0}$，$\vert PF_{2}\vert=a-ex_{0}$。

（2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知 $A,B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ 上两个不同的点，$F$ 为右焦点，$\vert AF\vert+\vert BF\vert=6$，若线段 $AB$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $T$，求 $\vert FT\vert$。

答案：
典例5 解：
(1)证明：由$e=\frac{|PF_1|}{|PN_1|}·\frac{|PF_2|}{|PN_2|}$,得$|PF_1|=e|PN_1|,|PF_2|=e|PN_2|$,
又$|PN_1|=x_0-(-\frac{a^{2}}{c})=x_0+\frac{a^{2}}{c},|PN_2|=\frac{a^{2}}{c}-x_0$,
所以$|PF_1|=e|PN_1|=e(x_0+\frac{a^{2}}{c})=a + ex_0$
$|PF_2|=e|PN_2|=e(\frac{a^{2}}{c}-x_0)=a - ex_0$,
即$|PF_1|=a + ex_0,|PF_2|=a - ex_0$.
(2)由题意，在椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$中，$a = 4,c = 2,e=\frac{1}{2},F(2,0)$.
设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,
则由焦半径公式，得$|AF|+|BF|=(4-\frac{1}{2}x_1)+(4-\frac{1}{2}x_2)=6$,所以$x_1 + x_2 = 4$,所以线段$AB$的中点为$E(2,\frac{y_1 + y_2}{2})$.
设$T(m,0)$,如图所示，
由题意知，直线$AB$与坐标轴不平行，且直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$,

所以线段$AB$的垂直平分线的斜率为$-\frac{x_1 - x_2}{y_1 - y_2}$,
则线段$AB$的垂直平分线方程为$y=-\frac{x_1 - x_2}{y_1 - y_2}(x - 2)+\frac{y_1 + y_2}{2}$.
代入$T(m,0)$,得$m - 2=\frac{y_1^{2}-y_2^{2}}{2(x_1 - x_2)}$
$\frac{3}{4}=\frac{x_1^{2}-x_2^{2}}{2(x_1 - x_2)}÷\frac{3}{8}(x_1 + x_2)=-\frac{3}{2}$,
解得$m=\frac{1}{2}$,所以$|FT|=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

1. （多选题）已知椭圆 $C:16x^{2}+4y^{2}=1$，则下列结论正确的是（CD）
A.长轴长为 $\frac{1}{2}$
B.焦距为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.焦点坐标为 $(0,\pm\frac{\sqrt{3}}{4})$
D.离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 随堂评价
1.CD

2. 已知椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$，焦点是 $(-3,0)$ 和 $(3,0)$，则该椭圆的方程为（A）
A.$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$
B.$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$
C.$\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1$
D.$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1$

答案： 2.A

3. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（B）
A.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 3.B

4. 在圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 上任取一点 $P$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $PD$，$D$ 为垂足，$\overrightarrow{DM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{DP}$。当点 $P$ 在圆上运动时，点 $M$ 的轨迹方程是$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。

答案： 4.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$