《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 2. 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立平面直角坐标系，使所建立的抛物线的方程简单？

答案： 问题2.我们取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的焦点到准线的距离为$p(p ＞ 0)$，则$\vert KF \vert = p(p ＞ 0)$，焦点$F(\frac{p}{2},0)$，准线l的方程为$x = -\frac{p}{2}$.
设点$M(x,y)$是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足$\vert MF \vert = d$.因为$\vert MF \vert = \sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2}}$，$d = \vert x + \frac{p}{2} \vert$，所以$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2}} = \vert x + \frac{p}{2} \vert$，将上式两边平方并化简，得$y^{2} = 2px(p ＞ 0)$.

答案： 新知构建 $y^{2} = 2px(p ＞ 0)$ $y^{2} = -2px(p ＞ 0)$ $x^{2} = 2py(p ＞ 0)$ $x^{2} = -2py(p ＞ 0)$

典例 2
(链教材 $ P70 $ 例 1)根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为 $ 2y + 4 = 0 $；
(2)过点 $ (3,-4) $；
(3)焦点在直线 $ x + 3y + 15 = 0 $ 上.

答案： 典例2 解：
(1)准线方程为$2y + 4 = 0$，即$y = -2$，所以抛物线焦点在y轴的正半轴上，
设抛物线的标准方程为$x^{2} = 2py(p ＞ 0)$.又$\frac{p}{2} = 2$，所以$2p = 8$，
所以所求抛物线的标准方程为$x^{2} = 8y$.
(2)因为点(3,-4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为$y^{2} = 2px(p ＞ 0)$或$x^{2} = -2p_1y(p_1 ＞ 0)$.
把点(3,-4)的坐标分别代入$y^{2} = 2px$和$x^{2} = -2p_1y$中，得$(-4)^{2} = 2p·3$，$3^{2} = -2p_1·(-4)$，即$2p = \frac{16}{3}$，$2p_1 = \frac{9}{4}$.
所以所求抛物线的标准方程为$y^{2} = \frac{16}{3}x$或$x^{2} = -\frac{9}{4}y$.
(3)令$x = 0$得$y = -5$；令$y = 0$得$x = -15$.
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0).
所以所求抛物线的标准方程为$x^{2} = -20y$或$y^{2} = -60x$.

根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1）焦点为 $ F(0,-4) $；
（2）焦点到准线的距离为 $ \sqrt{2} $.

答案：
(1)
因为焦点为$F(0, - 4)$，所以抛物线开口向下。
设抛物线标准方程为$x^{2}=-2py(p\gt0)$，其焦点坐标为$(0,-\frac{p}{2})$。
由$\frac{p}{2}=4$，得$p = 8$。
所以抛物线标准方程为$x^{2}=-16y$。
(2)
因为焦点到准线的距离为$\sqrt{2}$，所以$p=\sqrt{2}$。
当抛物线开口向右时，标准方程为$y^{2}=2\sqrt{2}x$；
当抛物线开口向左时，标准方程为$y^{2}=-2\sqrt{2}x$；
当抛物线开口向上时，标准方程为$x^{2}=2\sqrt{2}y$；
当抛物线开口向下时，标准方程为$x^{2}=-2\sqrt{2}y$。
综上，答案依次为：
(1)$x^{2}=-16y$；
(2)$y^{2}=\pm2\sqrt{2}x$或$x^{2}=\pm2\sqrt{2}y$。

典例 3
(链教材 $ P71 $ 例 2)求下列抛物线的焦点坐标、准线方程：
(1)$ y^{2} = x $； (2)$ x^{2} = - y $； (3)$ x^{2} + 12y = 0 $； (4)$ y^{2} = ax(a \neq 0) $.

答案： 典例3 解：
(1)对于$y^{2} = x$，焦点在x轴正半轴上，
焦点坐标为$(\frac{1}{4},0)$，准线方程为$x = -\frac{1}{4}$.
(2)对于$x^{2} = -y$，焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为$(0,-\frac{1}{4})$，准线方程为$y = \frac{1}{4}$.
(3)对于$x^{2} + 12y = 0$，即$x^{2} = -12y$，
焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为(0,-3)，准线方程为$y = 3$.
(4)当$a ＞ 0$时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，$2p = a$，
所以$p = \frac{a}{2}$，$\frac{p}{2} = \frac{a}{4}$，因此焦点坐标为$(\frac{a}{4},0)$，准线方程为$x = -\frac{a}{4}$.
当$a ＜ 0$时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，$2p = -a$，
所以$p = -\frac{a}{2}$，$\frac{p}{2} = -\frac{a}{4}$，因此焦点坐标为$(\frac{a}{4},0)$，准线方程为$x = -\frac{a}{4}$.
综上可得，当$a \neq 0$时，抛物线的焦点坐标为$(\frac{a}{4},0)$，准线方程为$x = -\frac{a}{4}$.

（双空题）若抛物线 $ y^{2} = 2px(p ＞ 0) $ 的焦点坐标为 $ (1,0) $，则 $ p = $2，准线方程为$x=-1$.

答案： 对点练3.2 $x = -1$ 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以$\frac{p}{2} = 1$，$p = 2$，准线方程为$x = -\frac{p}{2} = -1$.