《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

典例3 已知二项式$(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})^n$展开式中的第7项是常数项。
(1)求$n$；
(2)求展开式中有理项共有几项，分别是第几项？

答案：
(1)$n = 15$；
(2)展开式中的有理项共有3项，分别是第1、第7和第13项

典例4 在关于$x$的展开式$(1 + x)(1 - \sqrt{x})^6$中，$x^2$的系数是(A)
A.30
B.25
C.20
D.15

答案： A

典例5 (一题多解)在$(x + \frac{1}{x} - 2)^5$的展开式中，$x^2$的系数为 -120。(用数字作答)

答案： -120

（1）（多选题）对于二项式$(\sqrt{x} - \frac{1}{2x})^6$，下列说法正确的是（ ）

A.展开式中的常数项为$\frac{15}{4}$
B.展开式中的常数项为$\frac{15}{2}$
C.展开式中的有理项有3项
D.展开式中的有理项有4项

答案： （1）AD

（2）$(x^2 + 2y + z)^6$展开式中$x^4y^3z$的系数为480。

答案： （2）480

（3）已知$(2x + my)(x - y)^5$的展开式中$x^2y^4$的系数为 - 20，则$m$的值为 3。

答案： （3）3

1. 在$(2x + \frac{1}{x})^3$的展开式中，$x$的系数为（D）
A.3
B.6
C.9
D.12

答案： 1.D

2. 二项式$(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$的展开式中有理项的项数为（C）
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 2.C

3. 化简：$(x + 1)^4 - 4(x + 1)^3 + 6(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 1 =$$x^{4}$。

答案： 3.$x^{4}$

4. 设实数$x ＞ 0$，试判断$(1 + x)^{10}$与$1 + 10x + 45x^2$的大小关系，并说明理由。

答案： 4.$(1 + x)^{10}＞1 + 10x+45x^{2}$，理由：$(1 + x)^{10}=C_{10}^{0}+C_{10}^{1}x+C_{10}^{2}x^{2}+·s + C_{10}^{10}x^{10}=1 + 10x+45x^{2}+C_{10}^{3}x^{3}+·s + C_{10}^{10}x^{10}$，因为$x＞0$，所以$(1 + x)^{10}＞1 + 10x+45x^{2}$