《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 下列直线中与直线 $ l:3x + 2y - 5 = 0 $ 相交的直线是（D）
A.$ y = -\frac{3}{2}x + 5 $
B.$ 3x + 2y = 0 $
C.$ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 $
D.$ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 $

答案： 1.D

2. 两条直线 $ l_1:2x - y - 1 = 0 $ 与 $ l_2:x + 3y - 11 = 0 $ 的交点坐标为（B）
A.$ (3,2) $
B.$ (2,3) $
C.$ (-2,-3) $
D.$ (-3,-2) $

答案： 2.B

3. 若三条直线 $ ax + 2y + 8 = 0 $，$ 4x + 3y = 10 $ 和 $ 2x - y = 10 $ 相交于一点，则 $ a $ 的值为-1.

答案： 3.-1

4. 经过直线 $ l_1:x + 3y - 4 = 0 $ 与 $ l_2:5x + 2y + 6 = 0 $ 的交点，且过点 $ A(2,3) $ 的直线方程是$x - y + 1 = 0$.

答案： 4.$x - y + 1 = 0$

问题 1. 在数轴上已知两点 $ A,B $，如何求 $ A,B $ 两点间的距离？

答案： 问题1.$|AB| = |x_B - x_A|$．

问题 2. 在平面直角坐标系中，若两点为 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $，怎样求这两点间的距离 $ |AB| $？

答案：
问题2.
(1)当AB与x轴平行时，$|AB| = |x_2 - x_1|$；
(2)当AB与y轴平行时，$|AB| = |y_2 - y_1|$；
(3)当AB与坐标轴不平行时，如图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$，

所以$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$．
即$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点间的距离为$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$．

1. 两点间的距离公式
平面上 $ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $ 两点间的距离公式 $ |AB| = $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

答案： 1.$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

2. 两点间距离的特殊情况
(1) 原点 $ O(0,0) $ 与任一点 $ A(x,y) $ 间的距离 $ |OA| = $$\sqrt{x^2 + y^2}$.
(2) 当 $ AB // x $ 轴 $ (y_1 = y_2) $ 时，$ |AB| = |x_2 - x_1| $.
(3) 当 $ AB // y $ 轴 $ (x_1 = x_2) $ 时，$ |AB| = |y_2 - y_1| $.

答案： 2.
(1)$\sqrt{x^2 + y^2}$

$ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $ 两点间的距离公式是否可以写成 $ |AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $ 的形式？

答案： 可以，原因是$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$，也就是说公式中A，B两点的位置没有先后之分，与两点的先后顺序无关．

典例 1
(1) 已知 $ A(-1,0),B(5,6),C(3,4) $，则 $ \frac{|AC|}{|CB|} $ 的值为（D）
A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ 3 $
D.$ 2 $

答案：
(1)D

(2) 已知点 $ A(-3,4),B(2,\sqrt{3}) $，在 $ x $ 轴上找一点 $ P $，使 $ |PA| = |PB| $，并求 $ |PA| $ 的值.

答案：
(2)解：设点P的坐标为$(x,0)$，则有
$|PA| = \sqrt{(x + 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{x^2 + 6x + 25}$，
$|PB| = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{x^2 - 4x + 7}$．
由$|PA| = |PB|$，得$x^2 + 6x + 25 = x^2 - 4x + 7$，
解得$x = -\frac{9}{5}$．故所求点P的坐标为$(-\frac{9}{5},0)$．
$|PA| = \sqrt{(-\frac{9}{5} + 3)^2 + (0 - 4)^2} = \frac{2\sqrt{109}}{5}$