《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练1. 求满足下列条件的直线方程：
(1) 经过点 $ (2,-3) $，倾斜角是直线 $ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x $ 的倾斜角的 2 倍；
(2) 经过点 $ P(5,-2) $，且与 $ y $ 轴平行；
(3) 过 $ P(-2,3) $，$ Q(5,-4) $ 两点.

答案： 对点练1.解：
(1)因为直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$.
所以所求直线的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，故其斜率为$\sqrt{3}$.
所以所求直线方程为$y + 3 = \sqrt{3}(x - 2)$，即$\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} - 3 = 0$.
(2)与$y$轴平行的直线，其斜率$k$不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为$5$，故直线方程可记为$x = 5$.
(3)过$P(-2,3),Q(5,-4)$两点的直线斜率$k_{PQ} = \frac{-4 - 3}{5 - (-2)} = \frac{-7}{7} = -1$.
因为直线过点$P(-2,3)$，所以由直线的点斜式方程可得直线方程为$y - 3 = -(x + 2)$，即$x + y - 1 = 0$.

问题3. 考虑一种特殊情形：如果直线 $ l $ 的斜率为 $ k $ 且过 $ P_0(0,b) $，那么此时直线的方程如何表示？

答案： 问题3.由$y - b = k(x - 0)$，得$y = kx + b$.

直线方程的斜截式

新知构建 $y = kx + b$

答案： 新知构建 $y = kx + b$

典例2
写出下列直线的斜截式方程：
(1) 斜率为 2，在 $ y $ 轴上的截距为 $ -1 $；
(2) 倾斜角为直线 $ y = \sqrt{3}x + 1 $ 的倾斜角的一半，在 $ y $ 轴上的截距为 $ -2 $；
(3) 倾斜角为 $ 60^{\circ} $，在 $ y $ 轴上的截距为 3.

答案： 典例2 解：
(1)由题意得$k = 2,b = -1$.由斜截式得直线方程为$y = 2x - 1$.
(2)因为直线$y = \sqrt{3}x + 1$的斜率为$\sqrt{3}$，所以其倾斜角为$60^{\circ}$，
故所求直线的倾斜角为$30^{\circ}$，所以$k = \tan30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
又$b = -2$，所以直线方程为$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2$.
(3)因为直线的倾斜角为$60^{\circ}$，所以其斜率$k = \tan60^{\circ} = \sqrt{3}$.
因为在$y$轴上的截距为$3$，所以直线在$y$轴上的截距$b = 3$.
所以所求直线方程为$y = \sqrt{3}x + 3$.

[变式探究]
（变条件）若本例(3)变为：倾斜角为 $ 60^{\circ} $，与 $ y $ 轴的交点到坐标原点的距离为 3. 求直线的斜截式方程.

答案： [变式探究]
解：因为直线的倾斜角为$60^{\circ}$，所以其斜率$k = \tan60^{\circ} = \sqrt{3}$.
因为直线与$y$轴的交点到坐标原点的距离为$3$，
所以直线在$y$轴上的截距$b = 3$或$b = -3$.
所以所求直线方程为$y = \sqrt{3}x + 3$或$y = \sqrt{3}x - 3$.