《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知双曲线 $ C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_{1} $，$ F_{2} $，若在 $ C $ 上存在点 $ P $（不是顶点），使得 $ \angle PF_{2}F_{1} = 3\angle PF_{1}F_{2} $，则 $ C $ 的离心率的取值范围为（ ）

A.$ (\sqrt{2}, 2) $
B.$ (\sqrt{3}, +\infty) $
C.$ (1, \sqrt{3} $
D.$ (1, \sqrt{2} $

答案：
对点练5.A 设$PF_1$与$y$轴交于$Q$点，连接$QF_2$，则$|QF_1| = |QF_2|$，如图所示，所以$\angle QF_1F_2 = \angle QF_2F_1$，因为$\angle PF_2F_1 = 3\angle PF_1F_2$，故$P$点在双曲线右支上，且$\angle PF_2Q = \angle QPF_2 = 2\angle PF_1F_2$，故$|PQ| = |PF_2|$，而$|PF_1| - |PF_2| = 2a$，故$|PF_1| - |PQ| = |QF_1| = 2a$。在$Rt\triangle QOF_1$中，$|QF_1| ＞ |OF_1|$，即$2a ＞ c$，故$e = \frac{c}{a} ＜ 2$。由$\angle PF_2F_1 = 3\angle PF_1F_2$，且三角形内角和为$180°$，故$\angle PF_1F_2 ＜ \frac{180°}{4} = 45°$，则$\cos \angle PF_1F_2 = \frac{|OF_1|}{|QF_1|} ＞ \cos 45°$，即$\frac{c}{2a} ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}$，即$e = \frac{c}{a} ＞ \sqrt{2}$，所以$C$的离心率的取值范围为$(\sqrt{2},2)$。故选$A$。

问题 1. 如图所示，先将一把直尺固定在画板上，再把一个三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线 $ l $)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边 $ AB $ 相等，细绳的一端固定在三角板顶点 $ A $ 处，另一端固定在画板上的点 $ F $ 处. 用铅笔尖(记作点 $ P $)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点 $ P $ 的轨迹. 你能发现点 $ P $ 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？

答案： 问题1.点P运动的过程中，始终有$\vert PF \vert = \vert PB \vert$，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似.

答案： 新知构建 相等 定点F 定直线l

典例 1
（1）在平面直角坐标系内，到点 $ A(1,1) $ 和直线 $ y = 1 $ 的距离相等的点的轨迹是 （A）
A.直线
B.抛物线
C.椭圆
D.双曲线

答案： A
(1)设到点A(1,1)和直线$y = 1$的距离相等的点为$P(x,y)$，由题意得$\sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}} = \vert y - 1 \vert$，两边平方化简得$(x - 1)^{2} = 0$，即$x = 1$，即到点A(1,1)和直线$y = 1$的距离相等的点的轨迹方程为$x = 1$，为一条直线.故选A.

（2）已知动点 $ M(x,y) $ 的坐标满足方程 $ 5\sqrt{x^{2}+y^{2}} = |3x + 4y - 12| $，则动点 $ M $ 的轨迹是 （ ）
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不对

答案： C
(2)等式$5\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \vert 3x + 4y - 12 \vert$变形成$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{\vert 3x + 4y - 12 \vert}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$，
因此该等式表示动点$M(x,y)$到原点$O(0,0)$的距离等于到定直线$3x + 4y - 12 = 0$的距离，而直线$3x + 4y - 12 = 0$不过原点$O(0,0)$，所以动点M的轨迹是抛物线.故选C.

设圆 $ C $ 与圆 $ x^{2}+(y - 3)^{2} = 1 $ 外切，与直线 $ y = - 2 $ 相切，则圆 $ C $ 的圆心的轨迹为 （A）
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆

答案： 对点练1.A 设C的坐标为$(x,y)$，圆C的半径为$r$，圆$x^{2} + (y - 3)^{2} = 1$的圆心为A.因为圆C与圆$x^{2} + (y - 3)^{2} = 1$外切，与直线$y = -2$相切，所以$\vert CA \vert = r + 1$，C到直线$y = -2$的距离$d = r$，所以$\vert CA \vert = d + 1$，即动点C到定点A的距离等于到定直线$y = -3$的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A.