《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

对点练 1 若方程 $x^{2}+y^{2}+2mx - 2y + m^{2}+5m = 0$ 表示圆。
(1)求实数 $m$ 的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径。

答案： 1.
(1)由表示圆的充要条件，得$(2m)^{2}+(-2)^{2}-4(m^{2}+5m)＞0$，解得$m＜\frac{1}{5}$，即实数$m$的取值范围为$(-\infty,\frac{1}{5})$.
(2)将方程$x^{2}+y^{2}+2mx - 2y + m^{2}+5m = 0$写成标准方程为$(x + m)^{2}+(y - 1)^{2}=1 - 5m$，故圆心坐标为$(-m,1)$，半径$r=\sqrt{1 - 5m}$.

典例 2 (链教材 P32 例 4)已知 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(-1,7)$，求 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心坐标和半径。

答案： 1. 解：设外接圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$.①
将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于$D,E,F$的三元一次方程组$\begin{cases}F = 0,\\36 + 6D + F = 0,\\50 - D + 7E + F = 0,\end{cases}$解得$D=-6,E=-8,F = 0$，因此，外接圆的方程为$x^{2}+y^{2}-6x - 8y = 0$，整理得$(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=5^{2}$.所以外接圆的圆心坐标为$(3,4)$，半径为$5$.

[变式探究]
(变设问)若点 $M(0,b)$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圆外，求 $b$ 的取值范围。

答案： 1. 解：由$M(0,b)$在圆$x^{2}+y^{2}-6x - 8y = 0$外得$b^{2}-8b＞0$，解得$b＜0$或$b＞8$，所以$b$的取值范围是$(-\infty,0)\cup(8,+\infty)$.

对点练 2 (一题多解)已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点为 $A(1,4)$，$B(-2,3)$，$C(4,-5)$，求 $\triangle ABC$ 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径。

答案： 1. 解：法一：设$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，因为$A,B,C$在圆上，$\begin{cases}1 + 16 + D + 4E + F = 0,\\4 + 9 - 2D + 3E + F = 0,\\16 + 25 + 4D - 5E + F = 0,\end{cases}$所以$\begin{cases}D = -2,\\E = 2,\\F = -23,\end{cases}$所以$\triangle ABC$的外接圆方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 23 = 0$，即$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$.所以外心坐标为$(1,-1)$，外接圆半径为$5$.
法二：因为$k_{AB}=\frac{4 - 3}{1 + 2}=\frac{1}{3},k_{AC}=\frac{4 + 5}{1 - 4}=-3$，所以$k_{AB}· k_{AC}=-1$，所以$AB\bot AC$.所以$\triangle ABC$是以角$A$为直角的直角三角形，所以外心是线段$BC$的中点，坐标为$(1,-1)$，$r=\frac{1}{2}|BC| = 5$.所以外接圆方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=25$.

典例 3 求到两个定点 $A(-2,0)$，$B(1,0)$ 的距离之比等于 $2$ 的点的轨迹方程。

答案： 1. 解：设$M(x,y)$为所求轨迹上一点，则$\frac{|MA|}{|MB|}=2$，所以$\frac{\sqrt{(x + 2)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}=2$，即$(x + 2)^{2}+y^{2}=4(x - 1)^{2}+4y^{2}$，整理可得$x^{2}-4x + y^{2}=0$，即$(x - 2)^{2}+y^{2}=4$.

典例 4 已知 $Rt\triangle ABC$ 的斜边为 $AB$，且 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，求直角顶点 $C$ 的轨迹方程。

答案： 1. 解：设$AB$的中点为$D$，由中点坐标公式，得$D(1,0)$.由直角三角形的性质，知$|CD|=\frac{1}{2}|AB| = 2$.由圆的定义，知动点$C$的轨迹是以$D(1,0)$为圆心，以$2$为半径长的圆(因为$A,B,C$三点不共线，所以应除去与$x$轴的交点).设$C(x,y)$，则直角顶点$C$的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=4(x\neq3,且x\neq -1)$.