《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知 $ \boldsymbol{a} = (2,-1,-2) $，$ \boldsymbol{b} = (0,-1,4) $. 求 $ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $，$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} $，$ (2\boldsymbol{a}) · (-\boldsymbol{b}) $，$ (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) $.

答案： 对点练2.解：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)$
$=(2,-2,2)$；
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6)$；
$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7$；
$(2\overrightarrow{a})·(-\overrightarrow{b})=-2(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})=-2×(-7)=14$；
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})·(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8$.

问题 3. 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？

答案： 问题3.如果设向量$\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1}),\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})$，当$\overrightarrow{b}\neq0$时，$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\exists!\lambda\in R$，使得$\begin{cases}x_{1}=\lambda x_{2},\\y_{1}=\lambda y_{2}.\end{cases}$当$\overrightarrow{b}$与两个坐标轴都不平行（即$x_{2}y_{2}\neq0$）时，$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$，$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$.
上述充要条件在空间中仍成立，设向量$\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，当$\overrightarrow{b}\neq0$时，$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\exists!\lambda\in R$，使得$\begin{cases}x_{1}=\lambda x_{2},\\y_{1}=\lambda y_{2},\\z_{1}=\lambda z_{2}.\end{cases}$当$\overrightarrow{b}$与三个坐标平面都不平行（即$x_{2}y_{2}z_{2}\neq0$）时，$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}$，$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0$.

设向量 $ \boldsymbol{a} = (x_1,y_1,z_1) $，$ \boldsymbol{b} = (x_2,y_2,z_2) $.
(1) 当 $ \boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0} $ 时，$ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} $，使得 $ \begin{cases} x_1 = \lambda x_2, \\ y_1 = \lambda y_2, \\ z_1 = \lambda z_2. \end{cases} $
(2) 当 $ \boldsymbol{b} $ 与三个坐标平面都不平行（即 $ x_2y_2z_2 \neq 0 $）时，$ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} $.
(3) $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 \Leftrightarrow $$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0$.
[微提醒] (1) 要证明 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $，就是证明 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 $；要证明 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $，就是证明 $ \boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b} (\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}) $. (2) 若 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $，则 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} $ 成立的条件是 $ x_2 · y_2 · z_2 \neq 0 $.

答案：
(3)$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0$

典例 3
已知空间三点 $ A(-2,0,2) $，$ B(-1,1,2) $，$ C(-3,0,4) $，设 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b} $.
(1) 设向量 $ \boldsymbol{c} = \left( -\frac{3}{2},-1,1 \right) $，试判断 $ 2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 是否平行；
(2) 若 $ k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $ 与 $ k\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} $ 互相垂直，求 $ k $ 的值.

答案： 典例3 解：
(1)因为$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}=(1,1,0),\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$，
所以$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(3,2,-2)$.
又$\overrightarrow{c}=(-\frac{3}{2},-1,1)$，所以$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{c}$，所以$(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})//\overrightarrow{c}$.
(2)因为$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}=(1,1,0),\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$，
所以$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(k-1,k,2),k\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(k+2,k,-4)$.
又因为$(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp(k\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$，所以$(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})·(k\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=0$，
即$(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k^{2}+k-10=0$，
解得$k=2$或$k=-\frac{5}{2}$.

变式探究
（变条件）将本例 (2) 中“若 $ k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $ 与 $ k\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} $ 互相垂直”改为“若 $ k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b} $ 相互平行”，其他条件不变，求 $ k $ 的值.

答案： [变式探究]
解：因为$\overrightarrow{a}=(-1+2,1-0,0-2)=(1,1,0)$，
$\overrightarrow{b}=(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2)$，
所以$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2)$，
$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k)$.
因为$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$平行，所以$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b})$，
即$(k-1,k,2)=\lambda(1-k,1,2k)$，
所以$\begin{cases}k-1=\lambda(1-k),\\k=\lambda·1,\\2=\lambda·2k.\end{cases}$则$\begin{cases}k=-1,\\\lambda=-1,\\2=-2k.\end{cases}$或$\begin{cases}k=1,\\\lambda=1.\end{cases}$所以$k=-1$或$k=1$.

已知 $ \boldsymbol{a} = (\lambda + 1,1,2\lambda) $，$ \boldsymbol{b} = (6,2m - 1,2) $.
(1) 若 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $，分别求 $ \lambda $ 与 $ m $ 的值；
(2) 若 $ \lambda ＜ 0 $，且 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} = (2,-2\lambda,-\lambda) $ 垂直，求 $ \boldsymbol{a} $.

答案： 对点练3.解：
(1)因为$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$，所以设$(\lambda+1,1,2\lambda)=k(6,2m-1,2)$，
所以$\begin{cases}\lambda+1=6k,\\1=k(2m-1),\\2\lambda=2k.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{5},\\\lambda=\frac{1}{5},\\m=3.\end{cases}$所以$\lambda=\frac{1}{5},m=3$.
(2)因为$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}$，所以$2(\lambda+1)-2\lambda×1-\lambda×2\lambda=0$，
化简得$2-2\lambda^{2}=0$，解得$\lambda=\pm1$，又$\lambda＜0$，所以$\lambda=-1$.
因此$\overrightarrow{a}=(0,1,-2)$.