《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 已知圆 $ C:x^2 + y^2 - 4x = 0 $，$ l $ 是过点 $ P(3,0) $ 的直线，则（A）
A.$ l $ 与圆 $ C $ 相交
B.$ l $ 与圆 $ C $ 相切
C.$ l $ 与圆 $ C $ 相离
D.以上三个选项均有可能

答案：
(1)A

(2) 若直线 $ x - y = 0 $ 与圆 $ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = m $ 相离，则实数 $ m $ 的取值范围是（C）
A.$ (0,2 $
B.$ (1,2 $
C.$ (0,2) $
D.$ (1,2) $

答案：
(2)C

典例 2（链教材 P35 例 7）
若直线 $ l $ 过点 $ P(2,3) $，且与圆 $ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 $ 相切，求直线 $ l $ 的方程。

变式探究
1.（变设问）在本例条件下，求此切线长。
2.（变条件）若本例点 $ P $ 的坐标改为 $ P(2,-2) $，其他条件不变，求直线 $ l $ 的方程。

答案： 典例2 解:因为$(2 - 1)^{2}+(3 + 2)^{2}＞1$，所以点$P$在圆外.法一:①若直线$l$的斜率存在，设$l:y - 3 = k(x - 2)$，即$kx - y + 3 - 2k = 0$.因为直线$l$与圆$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=1$相切，所以$\frac{\vert5 - k\vert}{\sqrt{k^{2}+1}} = 1$，所以$k=\frac{12}{5}$.所以直线$l$的方程为$y - 3=\frac{12}{5}(x - 2)$，即$12x - 5y - 9 = 0$.②若直线$l$的斜率不存在，则直线$l:x = 2$也符合要求.所以直线$l$的方程为$12x - 5y - 9 = 0$或$x = 2$.法二:①若直线$l$的斜率存在，设$l:y - 3 = k(x - 2)$，即$y = k(x - 2)+3$，与圆的方程联立消去$y$得$(x - 1)^{2}+[k(x - 2)+3 + 2]^{2}=1$，整理得$(k^{2}+1)x^{2}-(4k^{2}-10k + 2)x + 4k^{2}-20k + 25 = 0$，所以$\Delta=(4k^{2}-10k + 2)^{2}-4(k^{2}+1)(4k^{2}-20k + 25)=0$，所以$k=\frac{12}{5}$.此时直线$l$的方程为$y - 3=\frac{12}{5}(x - 2)$，即$12x - 5y - 9 = 0$.②若直线$l$的斜率不存在，则直线$l:x = 2$也符合要求.所以直线$l$的方程为$12x - 5y - 9 = 0$或$x = 2$.
[变式探究]1.解:因为点$P(2,3)$到圆心$(1,-2)$的距离为$\sqrt{(2 - 1)^{2}+(3 + 2)^{2}}=\sqrt{26}$，所以切线长为$\sqrt{26 - 1}=5$.2.解:因为$(2 - 1)^{2}+(-2 + 2)^{2}=1$，所以点$P$在圆上.所以过$P(2,-2)$的切线方程为$x = 2$，即直线$l$的方程为$x = 2$.

(1) 已知过点 $ M(2,1) $ 的直线 $ l $ 与圆 $ C:x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0 $ 相切，则直线 $ l $ 的方程为（C）
A.$ 2x + y - 5 = 0 $
B.$ x - 2y - 5 = 0 $
C.$ x - 2y = 0 $
D.$ x = 2 $ 或 $ 2x + y - 5 = 0 $

答案：
(1)C

(2) 已知圆 $ C:(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ 及圆 $ C $ 外一点 $ M(-4,-1) $，过点 $ M $ 作圆 $ C $ 的一条切线，切点为 $ N $，则 $ \triangle MNC $ 的面积为6。

答案：
(2)6

典例 3（一题多解）
过圆 $ x^2 + y^2 = 8 $ 内的点 $ P(-1,2) $ 作直线 $ l $ 交圆于 $ A,B $ 两点，若直线 $ l $ 的倾斜角为 $ \frac{3}{4}\pi $，求弦 $ AB $ 的长。

答案： 典例3 解:法一:设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由题意知直线$l$的方程为$y - 2=-(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$.
由$\begin{cases}x + y - 1 = 0,\\x^{2}+y^{2}=8,\end{cases}$消去$y$，得$2x^{2}-2x - 7 = 0$，所以$x_{1}+x_{2}=1$，$x_{1}x_{2}=-\frac{7}{2}$，
所以$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + 1}·\sqrt{1^{2}+4×\frac{7}{2}}=\sqrt{30}$($k$为直线$l$的斜率).
法二:由题意知直线$l$的方程为$y - 2=-(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$.
圆心$(0,0)$到直线$l$的距离$d=\frac{\vert-1\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则有$\vert AB\vert=2\sqrt{8-\frac{1}{2}}=\sqrt{30}$.

变式探究
（变设问）若本例改为“过点 $ (-1,2) $ 的直线被圆 $ x^2 + y^2 = 8 $ 截得的弦长为 $ \sqrt{30} $”，求该直线方程。

答案： [变式探究]
解:由例题知圆心为$(0,0)$，半径$r = 2\sqrt{2}$，当弦长为$\sqrt{30}$时，圆心到直线的距离$d=\sqrt{r^{2}-(\frac{\sqrt{30}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
又因为直线过$(-1,2)$，知直线斜率一定存在，设直线斜率为$k$，则直线方程为$y - 2 = k(x + 1)$，
利用点到直线的距离公式，$d=\frac{\vert k + 2\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理得$(k + 1)(k + 7)=0$，得$k = - 1$或$k = - 7$.
所以所求直线方程为$y - 2=-(x + 1)$或$y - 2=-7(x + 1)$，即$x + y - 1 = 0$或$7x + y + 5 = 0$.