《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 对于两条不重合的直线 $ l_1 $，$ l_2 $，倾斜角分别为 $ \alpha_1 $，$ \alpha_2 $，斜率存在时斜率分别为 $ k_1 $，$ k_2 $。则对应关系如下：

$k_1 = k_2$

答案： 1.$k_1 = k_2$

2. 对于两条不重合的直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 和 $ l_2: y = k_2x + b_2 $（其中 $ b_1 \neq b_2 $），则 $ l_1 // l_2 \Leftrightarrow $$k_1 = k_2$。

答案： 2.$k_1 = k_2$

3. 若直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为$\frac{\pi}{2}$的直线，从而它们互相平行或重合。
[微提醒] （1）$ l_1 // l_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2 $ 成立的前提：两条直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 的斜率都存在，分别为 $ k_1 $，$ k_2 $；直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 不重合。
（2）两条直线平行与斜率之间的关系：
$ l_1 // l_2 \Leftrightarrow \begin{cases} k_1 = k_2, b_1 \neq b_2, \\ 两条直线的斜率都不存在. \end{cases} $
[微思考] 对于两条不重合的直线 $ l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0 $ 和 $ l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0 $，可否用它们的法向量 $ \boldsymbol{n}_1 = (A_1, B_1) $，$ \boldsymbol{n}_2 = (A_2, B_2) $ 来判断这两条直线是否平行呢？
能，$l_1 // l_2 \Leftrightarrow A_1B_2 - A_2B_1 = 0$.

答案： 3.$\frac{\pi}{2}$ 平行或重合
[微思考] 能，$l_1 // l_2 \Leftrightarrow A_1B_2 - A_2B_1 = 0$.

典例 1 （链教材 P17 例 16）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
（1）$ l_1: y = 2x + 3 $，$ l_2: 2x - y + 5 = 0 $；
（2）$ l_1: y = 2x + 1 $，$ l_2: x - 2y = 0 $；
（3）$ l_1: x = 2000 $，$ l_2: x = 2025 $；
（4）$ l_1: y = 2x + 1 $，$ l_2: 2x - y + 1 = 0 $。

答案： 典例1 解：设两直线$l_1,l_2$的斜率分别为$k_1,k_2$，在$y$轴上的截距分别为$b_1,b_2$.
(1)因为$k_1 = k_2 = 2,b_1 = 3,b_2 = 5,b_1 \neq b_2$，所以$l_1 // l_2$.
(2)因为$k_1 = 2,k_2 = \frac{1}{2},k_1 \neq k_2$，所以$l_1$与$l_2$不平行.
(3)由两直线的方程可知，$l_1 // y$轴，$l_2 // y$轴，且两直线在$x$轴上的截距不相等，所以$l_1 // l_2$.
(4)因为$k_1 = k_2 = 2,b_1 = b_2 = 1$，所以$l_1$与$l_2$重合.

对点练 1. 根据下列给定的条件，判断直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 的位置关系：
（1）$ l_1 $ 经过点 $ A(2, 1) $，$ B(-3, 5) $，$ l_2 $ 经过点 $ C(3, -3) $，$ D(8, -7) $；
（2）$ l_1 $ 的倾斜角为 $ 60° $，$ l_2 $ 经过点 $ M(3, 2\sqrt{3}) $，$ N(-2, -3\sqrt{3}) $。

答案： 对点练1.解：
(1)由题意知$k_1 = \frac{5 - 1}{-3 - 2} = -\frac{4}{5},k_2 = \frac{-7 + 3}{8 - 3} = -\frac{4}{5}$，
所以$l_1$与$l_2$平行或重合.
需进一步研究$A,B,C,D$四点是否共线，
因为$k_{BC} = \frac{5 - (-3)}{-3 - 3} = -\frac{4}{3} \neq -\frac{4}{5}$，
所以$A,B,C,D$四点不共线，所以$l_1 // l_2$.
(2)由题意知$k_1 = \tan 60° = \sqrt{3},k_2 = \frac{-3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{-2 - 3} = \sqrt{3}$，
因为$k_1 = k_2$，所以$l_1 // l_2$，或$l_1$与$l_2$重合.