《2025年金版新学案高中数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 如图所示，椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，你能根据方程和图象确定椭圆的边界吗？

问题 2. 如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何通过椭圆方程加以说明？
问题 3. 如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？

答案： 问题1.由方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$可得椭圆$C$上的任意一点$P(x,y)$总满足$\frac{x^{2}}{a^{2}} \leq 1,\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1$,即$-a \leq x \leq a,-b \leq y \leq b$,这说明椭圆$C$位于四条直线$x=-a,x=a,y=-b,y=b$所围成的矩形区域内.
问题2.既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称.若$(x_0,y_0)$是椭圆方程的一组解，即$\frac{x_0^{2}}{a^{2}}+\frac{y_0^{2}}{b^{2}}=1$,则$(x_0,-y_0),(-x_0,y_0),(-x_0,-y_0)$是方程的解.
问题3.在椭圆的标准方程中，当$x = 0$时，$y = \pm b$;当$y = 0$时，$x = \pm a$,所以$(\pm a,0),(0,\pm b)$为特殊点.

问题 4. 扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率 $e=\frac{c}{a}$ 来刻画椭圆的扁平程度。请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？

答案： 问题4.题干图中，保持半长轴长$a$不变，随着短半轴长$b$的增大，即离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$减小，椭圆就越接近于圆；随着短半轴长$b$的减小，即离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$增大，椭圆就越扁.

答案： 新知构建 $x$轴和$y$轴 $(0,0)$ $-a \leq x \leq a$,且$-b \leq y \leq b$ $A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0,-b),B_2(0,b)$ $A_1(0,-a),A_2(0,a),B_1(-b,0),B_2(b,0)$ $2b$ $2a$ $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ $F_1(0,-c),F_2(0,c)$ $2c$